Fourierreihen – Beispiel

Du hast die Fourierreihen nun hoffentlich verstanden und kannst dir das Ganze nun an zwei Beispielen genauer ansehen.

Inhaltsübersicht

Fourierreihen – Beispiel und Erklärung
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Integral bestimmen
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Fourierreihe – zweites Beispiel
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Fourierreihen – Beispiel und Erklärung

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(00:13)

Unser erstes Beispiel ist diese periodische Funktion.

$f\left(x\right)=\begin{cases} 0, & f\"ur\ x=\pi\\ x, & f\"ur\ x\in (-\pi,\pi)\\ \end{cases}$

Es ist eine unstetige Funktion, die aus Geraden auf Abschnitten der Länge $2\pi$ besteht.

Außerdem handelt es sich um eine ungerade Funktion, also kannst du schon jetzt folgern, dass alle a_n=0 sind. Die Koeffizienten b_n kannst du nach der Formel für die Koeffizienten in der Fourierreihe berechnen.

$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left(x\right)\sin{nx\ }dx}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{x\sin{nx\ }dx}$

$=\frac{1}{\pi}\left[\frac{\sin{nx}-nx\cos{nx}\ }{n^2}\right]_{-\pi}^\pi=\frac{2(\sin{n\pi}-n\pi\cos{n\pi})\ }{\pi n^2}=\left(-1\right)^{n+1}\frac{2}{n}$

Integral bestimmen

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(00:31)

Für $f\left(x\right)$ setzt du ein und bestimmst das Integral und wertest es aus. Der Sinus von $n\ast\pi$ ist immer Null. Der Kosinus von $n\ast\pi$ ist abwechselnd Eins und minus Eins. Das $\pi$ und ein n kürzen sich heraus und es bleibt $\left(-1\right)^{n+1}\frac{2}{n}$ . Also ergibt sich folgende Fourierreihe:

$Ff\left(x\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\left(-1\right)^{n+1}\frac{2}{n}}\sin{nx}$

Als nächstes wollen wir uns die Fourier-Polynome mal ansehen. Das erste Fourierpolynom ist F_2f und ergibt sich zu 2sinx :

Fourierreihe Beispiel — Fourier-Polynome

Der einzelne blau dargestellte Sinus kann die schwarze Funktion nicht zufriedenstellend nachbilden. Daher bestimmen wir F_3f :

$F_3f\left(x\right)=2\sin{x}-\sin{2x}$

Der orangefarbene Graph ist schon eine bessere Approximation. Jetzt machen wir größere Schritte. Wir bestimmen F_5f .

$F_5f\left(x\right)=2\sin{x}-\sin{2x}+\frac{2}{3}\sin{3x}-\funcapply\frac{1}{2}\sin{4x}$

Wie wir an der gelben Kurve erkennen können, ist die Approximation wieder besser geworden.

Fourierreihe – zweites Beispiel

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(01:55)

Machen wir noch ein zweites Beispiel. Hast du dich schon immer gefragt, wie man trigonometrische Formeln wie $\cos^2{x}=\frac{1}{2}\left(1+\cos{2x}\right)$ eigentlich beweisen kann? Mit Fourierreihen geht das und wir zeigen dir wie.

Zunächst definieren wir uns unsere Funktion $f\left(x\right)=\cos^2{x}$ . Es ist eine gerade Funktion, somit fallen alle Koeffizienten b_n weg. a_n bestimmst du so:

Das Integral ist etwas kompliziert zu berechnen und soll hier nicht im Fokus stehen. Das Ergebnis ist Null für alle $n\neq2$ und nur für n=2 ergibt sich der Wert $\frac{1}{2}$ . Du musst nur noch a_0 bestimmen. Dazu wollen wir dir einen Trick zeigen. Sieh dir mal die Funktion Cosinus Quadrat auf dem Intervall $2\pi$ genau an.

Sie muss in Summe mit dem Sinus Quadrat immer 1 ergeben, denn es gilt $\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$ .

Außerdem wissen wir, dass $\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2{x}dx=\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2{x}dx$ entspricht, denn die Funktionen sind $2\pi$ -periodisch und nur entlang der x-Achse zueinander verschoben. Daraus können wir folgern, dass das Integral $\int_{-\pi}^{\pi}{\cos^2{x}dx}$ genau den Wert der Hälfte der rechteckigen Fläche annimmt.

$\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{\cos^2{x\ } dx}=\frac{1}{2\pi}\ast \frac{1}{2}\ast 2\pi\ast 1=\frac{1}{2}$

Diese ist $2\pi$ lang und eins hoch. Es ergibt sich $a_0=\frac{1}{2}$ .

Zum Schluss kannst du deine Ergebnisse zur Fourierreihe zusammensetzen:

$Ff\left(x\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos{2x}$

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Fourierreihen – Beispiel