Du hast die Fourierreihen nun hoffentlich verstanden und kannst dir das Ganze nun an zwei Beispielen genauer ansehen.
Unser erstes Beispiel ist diese periodische Funktion.
Es ist eine unstetige Funktion, die aus Geraden auf Abschnitten der Länge besteht.
Außerdem handelt es sich um eine ungerade Funktion, also kannst du schon jetzt folgern, dass alle sind. Die Koeffizienten
kannst du nach der Formel für die Koeffizienten in der Fourierreihe berechnen.
Für setzt du
ein und bestimmst das Integral und wertest es aus. Der Sinus von
ist immer Null. Der Kosinus von
ist abwechselnd Eins und minus Eins. Das
und ein n kürzen sich heraus und es bleibt
. Also ergibt sich folgende Fourierreihe:
Als nächstes wollen wir uns die Fourier-Polynome mal ansehen. Das erste Fourierpolynom ist und ergibt sich zu
:
Der einzelne blau dargestellte Sinus kann die schwarze Funktion nicht zufriedenstellend nachbilden. Daher bestimmen wir :
Der orangefarbene Graph ist schon eine bessere Approximation. Jetzt machen wir größere Schritte. Wir bestimmen .
Wie wir an der gelben Kurve erkennen können, ist die Approximation wieder besser geworden.
Machen wir noch ein zweites Beispiel. Hast du dich schon immer gefragt, wie man trigonometrische Formeln wie eigentlich beweisen kann? Mit Fourierreihen geht das und wir zeigen dir wie.
Zunächst definieren wir uns unsere Funktion . Es ist eine gerade Funktion, somit fallen alle Koeffizienten
weg.
bestimmst du so:
Das Integral ist etwas kompliziert zu berechnen und soll hier nicht im Fokus stehen. Das Ergebnis ist Null für alle und nur für
ergibt sich der Wert
. Du musst nur noch
bestimmen. Dazu wollen wir dir einen Trick zeigen. Sieh dir mal die Funktion Cosinus Quadrat auf dem Intervall
genau an.
Sie muss in Summe mit dem Sinus Quadrat immer 1 ergeben, denn es gilt .
Außerdem wissen wir, dass entspricht, denn die Funktionen sind
-periodisch und nur entlang der x-Achse zueinander verschoben. Daraus können wir folgern, dass das Integral
genau den Wert der Hälfte der rechteckigen Fläche annimmt.
Diese ist lang und eins hoch. Es ergibt sich
.
Zum Schluss kannst du deine Ergebnisse zur Fourierreihe zusammensetzen:
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