Fundamentalsystem und Wronski-Determinante
Du möchtest wissen, was ein Fundamentalsystem ist? Im Folgenden erklären wir dir genauer, was es mit der Fundamentalmatrix und der Wronski-Determinante auf sich hat.
Inhaltsübersicht
Fundamentalsystem, Fundamentalmatrix und Wronski-Determinante Definitionen
Sind die Vektoren 
Lösungen der homogenen Differentialgleichung, dann ist auch jede Linearkombination der Lösungen eine Lösung des Differentialgleichungs-Systems.
Ein System von Lösungsvektoren 
heißt linear unabhängig, wenn
nur die triviale Lösung, also wenn alle Koeffizienten 
sind, die dargestellte Gleichung löst.
Ein linear unabhängiges System heißt Fundamentalsystem. Die Lösungen 
heißen Grundlösungen. Du kannst prüfen, ob ein System linear unabhängig ist, indem du die Determinante der Fundamentalmatrix berechnest. Die Fundamentalmatrix stellst du so auf:
![Y\left(x\right)=[y_1(x)|\ldots|y_n(x)]](https://blog.assets.studyflix.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7746434741d66fda24100cf23fb9cb60_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die Spalten sind die Lösungsvektoren 
bis 
des linearen DGL-Systems erster Ordnung. Die Determinante der Fundamentalmatrix heißt Wronski-Determinante.
Ist diese für mindestens ein x ungleich Null, sind die Lösungen linear unabhängig und es liegt ein Fundamentalsystem vor. Das umgedrehte E 
ist der Existenzquantor. Er bedeutet: „Es existiert ein x“
Die allgemeine Lösung ist dann:
![y\left(x\right)=c_1y_1\left(x\right)+\ldots+c_ny_n\left(x\right)=[y_1(x)|\ldots\left|y_n\left(x\right)\right]\left[\begin{matrix}c_1\\\vdots\ \\c_n\\\end{matrix}\right]=Y\left(x\right)c](https://blog.assets.studyflix.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-35ad39cd69b98765c4d103ccb466ed82_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die mit Koeffizienten 
bis 
multiplizierten summierten Grundlösungen bis . Du kannst die Lösung auch kompakt in Abhängigkeit von der Fundamental Matrix schreiben.
Beispiel
Als nächstes schauen wir uns ein Beispiel an.
Dieses System hat dann die Lösungen und 
. Dann ergibt sich als Wronski-Determinante: 
. Das ergibt -1, da 
gleich 1 ist.
-1 ist ungleich Null und damit sind die Lösungen linear unabhängig. Die allgemeine Lösung des DGL-Systems lautet also so:
Alternativer Weg zur Bestimmung der Wronski-Determinante
Du kannst die Wronski-Determinante ebenfalls bestimmen, wenn dir ein potentielles Fundamentalsystem 
einer skalaren Gleichung n-ter Ordnung vorliegt. Dann kannst du die sogenannte Wronski-Matrix aus den skalaren Lösungen und ihren Ableitungen aufstellen.
In der obersten Zeile stehen die Funktionen y und in den Zeilen darunter die Ableitungen bis zur n-1ten Ableitung. Das Fundamentalsystem 
ist genau dann linear unabhängig, wenn
ist.
Zweites Beispiel
Dazu wollen wir uns auch ein Beispiel ansehen. Du hast das Fundamentalsystem 
gegeben.
Dann ergibt sich die Wronski-Matrix aus den Ableitungen der drei Lösungen. X abgeleitet ergibt Eins. Noch einmal abgeleitet Null. Die Ableitung von 
ist und Sinus abgeleitet ergibt den Kosinus und in der zweiten Ableitung den negativen Sinus. Jetzt musst du die Determinante der Wronski-Matrix bilden.
Fassen wir noch schnell zusammen und schauen uns das Ergebnis an. Wir wissen, dass der Faktor stets positiv ist. Den brauchen wir also nicht weiter zu betrachten. 
ist im allgemeinen Fall auch nicht gleich Null. Probieren wir das mal für ein beliebiges x aus, zum Beispiel 
. Wir setzen 
für x ein. Sinus ist gleich Null und Kosinus ist gleich -1. Übrig bleibt . Also haben wir ein x gefunden, für das die Wronksy-Determinante ungleich Null ist. Die Lösungen sind somit linear unabhängig und es liegt ein Fundamentalsystem vor.
Du hast nun gelernt, was ein Fundamentalsystem, die zugehörige Fundamentalmatrix und die Wronski-Determinante sind.