Du möchtest wissen, was ein Fundamentalsystem ist? Im Folgenden erklären wir dir genauer, was es mit der Fundamentalmatrix und der Wronski-Determinante auf sich hat.
Sind die Vektoren Lösungen der homogenen Differentialgleichung, dann ist auch jede Linearkombination der Lösungen eine Lösung des Differentialgleichungs-Systems.
Ein System von Lösungsvektoren heißt linear unabhängig, wenn
nur die triviale Lösung, also wenn alle Koeffizienten sind, die dargestellte Gleichung löst.
Ein linear unabhängiges System heißt Fundamentalsystem. Die Lösungen
heißen Grundlösungen. Du kannst prüfen, ob ein System linear unabhängig ist, indem du die Determinante der Fundamentalmatrix berechnest. Die Fundamentalmatrix stellst du so auf:
Die Spalten sind die Lösungsvektoren bis
des linearen DGL-Systems erster Ordnung. Die Determinante der Fundamentalmatrix heißt Wronski-Determinante.
Ist diese für mindestens ein x ungleich Null, sind die Lösungen linear unabhängig und es liegt ein Fundamentalsystem vor. Das umgedrehte E ist der Existenzquantor. Er bedeutet: „Es existiert ein x“
Die allgemeine Lösung ist dann:
Die mit Koeffizienten bis
multiplizierten summierten Grundlösungen
bis
. Du kannst die Lösung auch kompakt in Abhängigkeit von der Fundamental Matrix schreiben.
Als nächstes schauen wir uns ein Beispiel an.
Dieses System hat dann die Lösungen und
. Dann ergibt sich als Wronski-Determinante:
. Das ergibt -1, da
gleich 1 ist.
-1 ist ungleich Null und damit sind die Lösungen linear unabhängig. Die allgemeine Lösung des DGL-Systems lautet also so:
Du kannst die Wronski-Determinante ebenfalls bestimmen, wenn dir ein potentielles Fundamentalsystem einer skalaren Gleichung n-ter Ordnung vorliegt. Dann kannst du die sogenannte Wronski-Matrix aus den skalaren Lösungen und ihren Ableitungen aufstellen.
In der obersten Zeile stehen die Funktionen y und in den Zeilen darunter die Ableitungen bis zur n-1ten Ableitung. Das Fundamentalsystem ist genau dann linear unabhängig, wenn
ist.
Dazu wollen wir uns auch ein Beispiel ansehen. Du hast das Fundamentalsystem gegeben.
Dann ergibt sich die Wronski-Matrix aus den Ableitungen der drei Lösungen. X abgeleitet ergibt Eins. Noch einmal abgeleitet Null. Die Ableitung von ist
und Sinus abgeleitet ergibt den Kosinus und in der zweiten Ableitung den negativen Sinus. Jetzt musst du die Determinante der Wronski-Matrix bilden.
Fassen wir noch schnell zusammen und schauen uns das Ergebnis an. Wir wissen, dass der Faktor stets positiv ist. Den brauchen wir also nicht weiter zu betrachten.
ist im allgemeinen Fall auch nicht gleich Null. Probieren wir das mal für ein beliebiges x aus, zum Beispiel
. Wir setzen
für x ein. Sinus
ist gleich Null und Kosinus
ist gleich -1. Übrig bleibt
. Also haben wir ein x gefunden, für das die Wronksy-Determinante ungleich Null ist. Die Lösungen sind somit linear unabhängig und es liegt ein Fundamentalsystem vor.
Du hast nun gelernt, was ein Fundamentalsystem, die zugehörige Fundamentalmatrix und die Wronski-Determinante sind.
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