Warum darf man bei einer separierbaren Differentialgleichung y-Terme und x-Terme trennen?

Bei der Trennung der Variablen behandelst du als und rechnest wie mit einem Bruch. Du teilst durch und multiplizierst mit sodass entsteht. So stehen links nur -Terme und rechts nur -Terme.

Welche Beispiele gibt es für die Trennung der Variablen in einer Funktion?

Bei der Trennung der Variablen brauchst du eine DGL der Form . Zum Beispiel ist separierbar, weil gilt. Ein weiteres Beispiel ist denn daraus wird .

Wann ist es sinnvoller, bei der Trennung der Variablen bestimmt statt unbestimmt zu integrieren?

Bei der Trennung der Variablen integrierst du bestimmt, wenn du einen Anfangswert wie hast und die Konstante direkt vermeiden willst. Du setzt dann und als untere Grenzen ein. Zum Beispiel: .

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Trennung der Variablen

Name: Trennung der Variablen
Uploaded: 2026-03-25T14:30:17Z
Duration: 3 min 38 s
Description: Du möchtest wissen, wie die Methode der Trennung der Variablen funktioniert? Im Folgenden zeigen wir dir, was trennbare Differentialgleichungen sind und wie du sie mithilfe der Trennung der Variablen lösen kannst.

Du möchtest wissen, wie die Methode der Trennung der Variablen funktioniert? Im Folgenden zeigen wir dir, was trennbare Differentialgleichungen sind und wie du sie mithilfe der Trennung der Variablen lösen kannst.

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Inhaltsübersicht

Lösung von homogenen Differentialgleichungen

Die Methode der Trennung der Variablen wird auch häufig als Trennung der Veränderlichen, Separation der Variablen oder Separationsmethode bezeichnet. Du kannst dieses Verfahren anwenden, wenn du eine homogene gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung in folgender Form schreiben kannst:

$y^\prime=f\left(x\right)g(y)$

Die DGL heißt dann trennbar oder separierbar. f(x) fasst alle von abhängigen Anteile zusammen und g(x) enthält alle von abhängigen Anteile. $y^\prime$ ist die Ableitung von nach , die du auch so darstellen kannst:

Im nächsten Schritt sortierst du. Der Term links vom Gleichheitszeichen ist nur noch direkt von abhängig, rechts kommt nur noch vor.

$\frac{dy}{g\left(y\right)}=f\left(x\right)dx$

Trennung der Variablen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Warum darf man bei einer separierbaren Differentialgleichung y-Terme und x-Terme trennen?

Bei der Trennung der Variablen behandelst du als $\frac{dy}{dx}$ und rechnest wie mit einem Bruch. Du teilst durch und multiplizierst mit sodass $\frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$ entsteht. So stehen links nur -Terme und rechts nur -Terme.
Welche Beispiele gibt es für die Trennung der Variablen in einer Funktion?

Bei der Trennung der Variablen brauchst du eine DGL der Form $y' = f(x)\cdot g(y)$ . Zum Beispiel ist $y' = x\cdot y$ separierbar, weil $\frac{1}{y}\,dy = x\,dx$ gilt. Ein weiteres Beispiel ist $y' = (1 + x^2)\cdot \sin(y)$ denn daraus wird $\frac{1}{\sin(y)}\,dy = (1 + x^2)\,dx$ .
Wann ist es sinnvoller, bei der Trennung der Variablen bestimmt statt unbestimmt zu integrieren?

Bei der Trennung der Variablen integrierst du bestimmt, wenn du einen Anfangswert wie hast und die Konstante direkt vermeiden willst. Du setzt dann und als untere Grenzen ein. Zum Beispiel: $\int_{y_0}^{y}\frac{1}{g(u)}\,du = \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt$ .

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Separation der Variablen: Bestimmte und unbestimmte Integration

Jetzt kannst du integrieren. Dafür hast du zwei Möglichkeiten. Entweder integrierst du unbestimmt und kümmerst dich erst später um die auftretende Konstante C oder du integrierst bestimmt und setzt die Anfangswerte als untere Grenzen ein.

Trennung der Variablen: Bestimmte und unbestimmte Integration — Bestimmte und unbestimmte Integration

Beides hat Vor- und Nachteile. Die direkte Integration spart dir am Ende Arbeit, weil du die Anfangswerte nicht mehr einsetzen musst, um C zu bestimmen. Sie ist allerdings unübersichtlicher. Letztendlich ist es Geschmackssache, welche Integrationsmethode du bevorzugst. Nachdem du die Stammfunktionen bestimmt hast, kannst du die Gleichung nach y auflösen und erhältst deine Lösung.

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