Du willst wissen, was vollständige Induktion ist und wie du damit einen Beweis führen kannst? Dann bist du hier genau richtig! Schau dir unser Video dazu an!
Die vollständige Induktion ist ein Beweisverfahren, mit dem du Aussagen für die ganzen natürlichen Zahlen beweisen kannst. Das funktioniert wie bei einer Reihe von Dominosteinen. Du schubst den ersten Stein an und musst dann nur noch dafür sorgen, dass der jeweils nächste Stein umgestoßen wird.
1.) Induktionsanfang: Zeige, dass die Aussage für den Startwert gilt (meistens )
2.) Induktionsschritt: Dieser besteht aus:
Mit der vollständigen Induktion kannst du eine ganze Reihe von unterschiedlichen Aussagen beweisen, wobei das Prinzip immer das Gleiche bleibt.
Ein ganz berühmtes Beispiel für einen Induktionsbeweis ist die Summenformel von Gauß. Dabei sollst du zeigen, dass für alle gilt
.
1.) Induktionsanfang
Wir beginnen mit einem Startwert und zeigen, dass die Aussage für dieses kleine n richtig ist. In diesem Fall beginnst du mit dem Startwert .
Beide Seiten sind gleich, die Aussage gilt also für .
2.) Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung/Induktionsannahme
Hier behauptest du, dass die Aussage für ein beliebiges n gilt. Stell dir einfach vor, du würdest irgendeine beliebige Zahl heraussuchen und festhalten.
Es sei für ein beliebiges
.
Induktionsbehauptung
Hier definierst du sozusagen deinen Zielpunkt. Du wiederholst die Aussage, die du beweisen möchtest, und setzt für jedes n einfach ein.
Dann gilt für :
.
Induktionsschluss
Jetzt kommt der eigentliche Beweis. Du startest beim linken Teil der Induktionsbehauptung und landest durch Termumformung bei der rechten Seite. Dabei verwendest du an irgendeinem Punkt die Induktionsvoraussetzung, also dass die Gleichung für n gilt.
Lass uns das einmal gemeinsam durchgehen.
Zuerst ziehst du die Summe über die ersten n Zahlen heraus. Damit kannst du jetzt nämlich die Summenformel einsetzen, denn laut Induktionsvoraussetzung gilt sie für n.
Nach dem Einsetzen der Induktionsvoraussetzung fasst du geschickt zusammen und formst die Gleichung um. Damit hast du jetzt also gezeigt, dass gilt
.
Das ist genau die Induktionsbehauptung. Die Summenformel gilt also für , für ein beliebiges n und für n+1. Damit gilt die Gleichung für alle
und du hast erfolgreich die Gaußsche Summenformel bewiesen.
Hinweis: Noch mehr Beispiele findest du in unserem Video Vollständige Induktion Aufgaben !
Also eigentlich ist es gar nicht so schwer, einen Induktionsbeweis mit vollständiger Induktion zu führen. Es gibt noch ein paar Tricks, mit denen du dir das Leben leichter machen kannst.
Das Prinzip bleibt dabei immer das gleiche. Du startest mit dem Induktionsanfang, also dem Umstoßen des ersten Dominosteins. Für eine kleine Zahl testest du damit, ob die Aussage überhaupt stimmt.
Im weiteren Verlauf machst du den Induktionsschritt. Dafür behauptest du einfach, dass die Aussage für ein beliebiges n gilt (Induktionsannahme). Darauf aufbauend beweist du allgemein, dass die Aussage dann auch für n+1 gelten muss (Induktionsbehauptung und Induktionsschluss). Mit diesem Schritt kannst du dann quasi jeden Dominostein erreichen.
Mit der vollständigen Induktion kannst du also ganz schnell Aussagen für alle natürlichen Zahlen beweisen. Ohne dieses Prinzip müsstest du zum Beispiel die Summenformel für jede Zahl einmal nachrechnen.
und
und
und
usw.
Das wäre eine Menge Arbeit, vor allem, weil es unendlich viele natürliche Zahlen gibt. Mit dem Induktionsschritt von zu
sparst du dir diese Arbeit. Denn damit zeigst du, dass du von jeder beliebigen natürlichen Zahl auf ihren Nachfolger schließen kannst. Wenn die Formel also für
gilt, dann gilt sie auch für
. Oder für
und
und so weiter. Mit der vollständigen Induktion geht es also viel schneller und du musst die Formel nicht für unendlich vielen Zahlen testen.
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