Analysis

Harmonische Reihe

In diesem Artikel erfährst du alles über harmonische Reihen und deren Konvergenz. %</span>Du willst alles Wichtige dazu in kurzer Zeit verstehen? Dann schau dir jetzt unser Video <span style="color: #99cc00;">VERWEIS </span>an!<span style="color: #99cc00;"> 

Inhaltsübersicht

Harmonische Reihe einfach erklärt

Wenn du die harmonische Reihe berechnen willst, musst du unendlich viele Brüche zusammenrechnen.

Harmonische Reihe

\(\sum \limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots

  • Die Reihe divergiert, es ist also \(\sum \limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\infty.
  • Sie ist die Summe über die konvergente Folge \left(\frac{1}{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}.
  • Sie ist ein Spezialfall der allgemeinen harmonischen Reihe \(\sum \limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\alpha}}.

Allgemein gesprochen wird über den Bruch \frac{1}{n} summiert, und zwar unendlich lange.

1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \dots=\(\sum \limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\infty

Damit gehört die harmonische Reihe zu den Funktionenreihen . Sie ist so besonders, weil die Folge \left(\frac{1}{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} konvergiert, sich also irgendwann einem bestimmten Wert nähert. Die Summe über die Folgenglieder, also die harmonische Reihe, divergiert allerdings. Sie hat also keinen Grenzwert, sondern wächst einfach immer weiter an.

harmonische Reihe, Konvergenz, Partialsumme
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Partialsummen der harmonischen Reihe

Harmonische Reihe Konvergenz

Du hast gerade schon erfahren, dass die harmonische Reihe divergiert, also keinen Grenzwert hat. Warum das so ist, wollen wir uns im Folgenden genauer ansehen.

Zuerst schaust du dir die Folge \left(\frac{1}{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} an. Diese Folge konvergiert, weil sie monoton fallend ist. 

\frac{1}{n} >\frac{1}{n+1}

Jedes Folgeglied ist damit kleiner als das Vorherige, weil der Nenner mit jedem Schritt größer wird. 

Wenn du jetzt allerdings die Summe über diese Folge betrachtest, also die harmonische Reihe, dann sieht das etwas anders aus. Die harmonische Reihe divergiert nämlich, sie wächst zwar sehr langsam aber trotzdem unendlich lange.

\(\sum \limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots

Um das zu zeigen, schätzt du die Reihe nach unten ab. Dabei nutzt du aus, dass die Folgenglieder immer kleiner werden. Zum Beispiel beim dritten und vierten Folgenglied.

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{4} + \frac{1}{4}

Weil \frac{1}{4} < \frac{1}{3} ist, kannst du so einen Teil der Folge nach unten abschätzen. Das machst du jetzt bei mehreren Folgengliedern.

1 + \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \right) + \cdots

> 1 + \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \right) + \dots

Dabei fasst du die Folgenglieder möglichst so zusammen, dass du sie durch \frac{1}{2} abschätzen kannst, so wie das mit den Klammern angedeutet ist. Es ergibt sich also

1 + \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \right) + \cdots > 1 + \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \frac{1}{8} + \dots

= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots.

Die Reihe 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots divergiert, wird also unendlich groß. Außerdem ist sie kleiner als die harmonische Reihe. Deshalb divergiert auch die harmonische Reihe nach dem sogenannten Minorantenkriterium. Denn diese ist ja sogar immer noch ein wenig größer als 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots.

Alternierende harmonische Reihe

Es gibt allerdings eine Abwandlung der harmonischen Reihe, die durchaus konvergiert. Nämlich die  alternierende harmonische Reihe

\(\sum \limits_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{1}{k}=1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots.

Sie wechselt immer das Vorzeichen durch den Faktor (-1)^{k+1}.

Konvergenz

Durch die ständige Änderung des Vorzeichens konvergiert die alternierende harmonische Reihe. Weil die Summanden abwechselnd addiert und subtrahiert werden, konvergiert die Folge der Partialsummen gegen einen festen Wert. 

alternierende harmonische Reihe, Grenzwert, Partialsummen
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Alternierende harmonische Reihe

Grenzwert

Weil die alternierende harmonische Reihe konvergiert, besitzt sie auch einen Grenzwert

\(\sum \limits_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{1}{k} = \ln (2)

Auf dem Bild oben siehst du schon, dass sich die Punkte einem gewissen Wert annähern. Den konkreten Grenzwert kannst du zum Beispiel über Taylorreihen herleiten. 

Allgemeine harmonische Reihe

Bisher hast du eigentlich nur Spezialfälle der harmonischen Reihe kennengelernt. Du kannst diese Reihe auch allgemeiner betrachten.

\(\sum \limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{\alpha}}=1+\frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}}+\frac{1}{4^{\alpha}}+\dots

Wenn du über \frac{1}{k} summierst, ist das also gerade der Fall \alpha = 1. Wir haben schon festgestellt, dass diese harmonische Reihe divergiert.

Für \alpha \geq 2 sieht das etwas anders aus.

Konvergenz

Hier siehst du einmal den Fall \alpha = 2.

\(\sum \limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+ \dots

Hier ist die Folge der Partialsummen auch wieder monoton steigend.

s_{n+1}=\(\sum \limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k^2} = \frac{1}{(n+1)^2}\(\sum \limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2}>s_n

Diesmal kannst du die Folge aber nach oben abschätzen, und zwar durch 2.

\(\sum \limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2}=1+\(\sum \limits_{k=2}^n\frac{1}{k^2}

\leq 1+\(\sum \limits_{k=2}^n\frac{1}{k(k-1)}

= 1+\left(1-\frac{1}{n}\right)

= 2-\frac{1}{n} \leq 2

Diese Reihe konvergiert also, weil die Folge monoton und beschränkt ist. Auch alle anderen allgemeinen harmonischen Reihen für \alpha >2 konvergieren. Dort kannst du ähnlich argumentieren. Bei den allgemeinen harmonischen Reihen kannst du also nur bei dem Spezialfall \alpha = 1 keine Konvergenz feststellten.

Grenzwert

Eben hast du festgestellt, dass die allgemeinen harmonischen Reihen für \alpha \geq 2 konvergieren. Deshalb besitzen diese Reihen auch alle einen Grenzwert.

\(\sum \limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}

Das ist zum Beispiel der Grenzwert für den Fall \alpha = 2

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