Hypothesentest

Hypothesentest einfach erklärt

Hypothesentests setzt du ein, wenn du auf Basis von erhobenen Daten etwas nachweisen möchtest. 

Ein Beispiel wäre, ob der Müslihersteller deines Vertrauens seine Packungen ausreichend befüllt. Bist du mit der Füllmenge unzufrieden, versuchst du zu beweisen, dass die Packungen nicht voll genug sind. Das formulierst du in zwei Hypothesen.

• H₀: 98 % der Packungen sind ausreichend gefüllt.
• H₁: Es sind nicht 98 % der Packungen ausreichend voll.

Du siehst, es können niemals beide Hypothesen gleichzeitig zutreffen. Beim  Hypothesentest überprüfst du durch eine Stichprobe, welche der beiden Behauptungen du annimmst und welche du verwirfst. Du entscheidest dich sozusagen für die wahrscheinlichere These.

Grundsätzlich unterscheidest du verschiedene Testarten.

Hypothesen aufstellen

Du beginnst einen Hypothesentest damit, die Hypothesen aufzustellen. Je nach Art des Tests sehen die Hypothesen unterschiedlich aus. Diese Regeln helfen dir beim Aufstellen:

• In der Aussage von der Aufgabe steht mindestens (≥) → linksseitiger Test und daraus formulierst du die H_0.
• In der Aufgabe steht höchstens (≤) → rechtsseitiger Test und das steht in der H₀.
• In der Aufgabe steht mehr als/größer (>) → rechtsseitiger Test und das steht in der H₁.
• In der Aufgabe steht weniger als/weniger (<) → linksseitiger Test und das steht in der H₁.

Merke: Die H₁-Hypothese enthält niemals ein ≤, ≥ oder =.

Hypothesentest Beispiel 

Die Partei Schmetterling hat sich für die Kanzlerwahl auf einen Kandidaten festgelegt, den sie offiziell aufstellen will. Dieser sollte jedoch mindestens eine Zustimmungsquote von 30%, auch unter Nichtmitgliedern, aufweisen können. Die Partei hat die Zustimmung unter Nichtmitgliedern bereits 6 Monate zuvor weitreichend getestet und einen Zuspruch von über 30% festgestellt.

Sie will aber trotzdem statistisch nachprüfen, dass der Wert in diesem Zeitraum nicht signifikant gesunken ist. Daher befragt die Partei kurzfristig noch 100 potenzielle Wähler in einer Zufallsstichprobe. Dabei sprechen sich 28 Befragte für den Kandidaten aus. Das spricht erstmal gegen den Kandidaten und sieht nach einem Rückgang aus. 

Aber ist dieser Rückgang genug, um das alte Ergebnis zurückzuweisen und nun von einer Zustimmung von weniger als 30 % auszugehen? Das soll anhand des Hypothesentests geprüft werden.

Beispiel — Hypothesen aufstellen

Beginne mit den Hypothesen. Du sollst überprüfen, ob die Zustimmung bei weniger als 30 % (< 30 %) liegt. Die Nullhypothese ist dagegen, dass der Kandidat weiterhin eine Zustimmung von mindestens 30 % (≥ 30 %) hat. Sie stellt die Ausgangssituation dar, die der Test widerlegen könnte. Aus der Alternativhypothese kannst du ablesen, dass du einen linksseitigen Test durchführst. 

H₀: Die Zustimmung für den Kandidaten liegt bei mindestens 30 %.
H₀: p ≥ 0,3

H₁: Die Zustimmung für den Kandidaten liegt bei unter 30 %.
H₁: p < 0,3

Entscheidungsregel: Annahme- und Ablehnungsbereich

Nach der Aufstellung der Hypothesen wurde die Stichprobe durchgeführt, sofern sie nicht schon in deiner Aufgabe vorgegeben war. Eine bestimmte Anzahl an Personen stimmt dabei für den Kanzlerkandidaten. Doch soll aufgrund dieses Ergebnisses die Nullhypothese angenommen oder abgelehnt werden? Dazu werden Annahme- und Ablehnungsbereich ermittelt.

Denn du kannst dir nie ganz sicher sein, dass die angenommene Hypothese auch tatsächlich wahr ist. Immerhin hast du nur eine Stichprobe gezogen und nicht alle Elemente einer Grundgesamtheit untersucht.

Um das Risiko einer falschen Entscheidung klein genug zu halten, arbeitest du mit einem Signifikanzniveau von beispielsweise 5 %. Es sorgt dafür, dass der Test aussagekräftig ist. 

Je nach Test mit jeweiliger Irrtumswahrscheinlichkeit sehen Annahme- und Ablehnungsbereich dabei unterschiedlich aus.

Annahme- und Ablehnungsbereich — Beispiel

Zurück zum Beispiel des Kanzlerkandidaten der Partei Schmetterling. Das Beispiel stützt sich auf Wahrscheinlichkeitsangaben. Daraus kannst du schließen, dass die Zufallsvariablen binomialverteilt sind.

Bei der Durchführung eines Hypothesentests bei einer Binomialverteilung  bieten sich zwei Möglichkeiten. Einerseits das Testen mit der normalen Binomialverteilungstabelle oder andererseits mit der kumulierten Binomialverteilungstabelle.

Ein Blick auf die Formulierung des Hypothesenpaars hilft dir dabei, das richtige Vorgehen herauszufinden. Die normale Binomialverteilungstabelle würde bei einem Fall zum Einsatz kommen, der von „genau“ 30 % ausgeht. Unsere Nullhypothese spricht von „mindestens“ 30 % Zustimmung für den Kandidaten.

Solche Formulierungen wie „mindestens“ und „höchstens“ signalisieren, dass du zum Nachschlagen die Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung heranziehen sollst.

Annahme- und Ablehnungsbereich bestimmen

Um den Annahme- und Ablehnungsbereich zu bestimmen, notierst du dir noch einmal alle vorhandenen Informationen.

1. Die Wahrscheinlichkeit ist p = 30 % bzw. 0,3, was du dem Hypothesenpaar entnehmen kannst.
2. Die Größe deiner Stichprobe entspricht n = 100.
3. Das Signifikanzniveau wurde auf 5 %, also α = 0,05 festgelegt.
4. Die beobachtete Prüfgröße X der Stichprobe liegt bei einem Wert von 28.  Das ist die Anzahl der Befragten, die dem Kandidaten ihre Zustimmung aussprechen.

Anhand der Werte p = 0,3 und n = 100 liest du jetzt in der Verteilungstabelle den Wert ab, der als letzter unter dem gewählten Signifikanzniveau von α = 0,05 liegt. Zur Einordnung: Die Tabelle zeigt ausschließlich Nachkommastellen.

Wichtig: Bei linksseitigen Tests rundest du den Annahmebereich auf die nächste ganze Zahl auf und bei rechtsseitigen ab. Bei zweiseitigen Hypothesentests rundest du immer nach innen, also machst du den Bereich eher kleiner.

Anhand der Informationen aus der Stichprobe und den Hypothesen kannst du also den kritischen Wert aus der Verteilungstabelle ablesen. Er liegt bei k = 22.

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Daraus kannst du jetzt abschließend den Annahme- und Ablehnungsbereich festlegen sowie eine allgemeine Entscheidungsregel aufstellen. Damit kannst du eine endgültige Entscheidung für die Beispielaufgabe treffen.

Annahmebereich A = {23, 24, 25, …, 100}

Ablehnungsbereich Ā = {0, 1, 2, …, 22}

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Entscheidungsregel Hypothesentest

Auf Grundlage eines 5-prozentigen Signifikanzniveaus verwirfst du bei einer Stichprobe mit 100 Probanden die Nullhypothese, sollte die Prüfgröße X kleiner bzw. gleich dem kritischen Wert k = 22 sein.

Für unser Fallbeispiel hatten aber immer noch 28 Befragte dem Kandidaten ihre Zustimmung ausgesprochen. Der Wert liegt somit nicht im Ablehnungsbereich der Nullhypothese und ist daher nicht niedrig genug, um diese zu verwerfen.

Im Kern bedeutet das: die Partei Schmetterling wird an ihrem Kandidaten festhalten. Sie geht weiterhin davon aus, dass er mindestens 30 % Zustimmung auch unter Nichtmitgliedern genießt.

Fehler beim Hypothesentest

Beim Testen kann eine Hypothese nie mit 100 % Sicherheit widerlegt oder bestätigt werden. Das heißt, jede Entscheidung kann auch falsch sein. 

Es gibt zwei Arten von Fehlern. Ein Fehler 1. Art liegt dann vor, wenn die Nullhypothese fälschlicherweise verworfen wird, obwohl sie wahr ist. Umgekehrt liegt ein Fehler 2. Art dann vor, wenn die Nullhypothese beibehalten wird, aber eigentlich falsch ist. 

Im Beispiel würde das Folgendes bedeuten:

• Fehler 1. Art: Du kommst aufgrund der Stichprobe zu dem Schluss, dass der Kandidat an Zustimmung verloren hat (somit Ablehnung der H₀), obwohl seine Zustimmung in der Gesamtbevölkerung immer noch bei mindestens 30 % liegt.
   
• Fehler 2. Art: Du kommst aufgrund der Stichprobe zu dem Schluss, dass der Kandidat immer noch eine Zustimmung von mindestens 30 % hat (somit Beibehaltung der H₀), obwohl die Zustimmung für ihn in der Grundgesamtheit abgenommen hat.

Wie wahrscheinlich die Fehler bei einer Entscheidung auftreten, hängt auch von den Annahme- und Ablehnungsbereichen der Hypothesen ab.

Meist wird es als wichtiger angesehen, den Fehler 1. Art zu kontrollieren, was über das Signifikanzniveau geschieht. Wenn also ein Hypothesentest durchgeführt wird, denk daran: Mit einer Wahrscheinlichkeit von annähernd 5 % wird die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt und somit ein Fehler 1. Art begangen.

Gut zu wissen: Mann kann nur die H₁ beweisen, nicht die H₀. Deshalb muss die These, die bewiesen werden soll, als Alternativhypothese formuliert werden.

Hypothesentest Arten

Wie du bereits gelernt hast, gibt es verschiedene Arten von Hypothesentests. Du erkennst sie oft an der Formulierung der Alternativhypothese H₁.

Beim einseitigen Signifikanztest liegt für die Verteilung von Annahme- und Ablehnungsbereich folgende Situation vor: Der Annahmebereich ergibt sich als ein zusammenhängender Bereich, während sich der Ablehnungsbereich entweder am linken oder am rechten Ende der Verteilungskurve befindet. In diese Kategorie fallen also der linksseitige sowie der rechtsseitige Hypothesentest.

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Linksseitiger Hypothesentest

Das Rechenbeispiel verlangt nach einem linksseitigen Hypothesentest. Die Ausgangssituation war folgendermaßen: Du willst testen, ob die Zustimmung für den Kandidaten geringer ist als ursprünglich in der Nullhypothese angenommen wurde. Die Formulierung der Hypothesen sah dabei so aus.

H₁: Die Zustimmung für den Kandidaten liegt bei unter 30 %.
H₁: p < 0,3

H₀: Die Zustimmung für den Kandidaten liegt bei mindestens 30 %.
H₀: p ≥ 0,3

Einen linksseitigen Test erkennst du an Formulierungen wie „unter/weniger als/kleiner als“ in der H₁.

Rechtsseitiger Hypothesentest

Nimm mal an, die Ausgangssituation wäre genau umgekehrt, nämlich dass die Partei in einer großen Umfrage vor 6 Monaten eine Zustimmung von weniger als 30% festgestellt hat. Nun willst du testen wollen, ob sich das zum Positiven verändert hat. Dann müsstest du das Hypothesenpaar umformulieren und in der Konsequenz einen rechtsseitigen Test durchführen. 

Aussehen könnten die Hypothesen dann so:

H₁: Die Zustimmung für den Kandidaten liegt bei über 30 %.
H₁: p > 0,3

H₀: Die Zustimmung für den Kandidaten liegt bei höchstens 30 %.
H₀: p ≤ 0,3

Zweiseitiger Hypothesentest

Als dritte Alternative gibt es noch den zweiseitigen Hypothesentest, der oft auch eher unter der Bezeichnung beidseitiger Hypothesentest bekannt ist. Dieser Fall unterscheidet sich vom einseitigen Test darin, dass der Ablehnungsbereich in zwei Bereiche unterteilt ist und sich jeweils an beiden Enden des Annahmebereichs befindet.

Der beidseitige Hypothesentest erweist sich als besonders sinnvoll, wenn man sich zwar sicher ist, dass die in der Nullhypothese H₀ getätigte Aussage unwahr ist, aber noch unklar ist, ob man eine Abweichung nach oben oder nach unten vermutet. Dass ein beidseitiger Test durchzuführen ist, lässt sich an Formulierungen wie „ungleich“ in der Alternativhypothese H₁ erkennen.

Hypothesentest mit Sigma Regeln

Die Sigma-Regeln kannst du an der Standardnormalverteilung anwenden. Sie geben an, welcher Anteil der Fläche unter der Verteilung in den Bereichen von ein, zwei oder drei Standardabweichungen auf beiden Seiten von Mittelwert liegt.

Wenn die Laplace-Bedingung () gilt, lässt sich die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung annähern. Dann kannst du mithilfe der Sigma (σ)-Umgebung den Annahme- und Ablehnungsbereich bestimmen.

Dafür gehst du so vor:

1. H₀ und H₁ aufstellen.
2. Testart feststellen (einseitig oder zweiseitig).
3. Erwartungswert berechnen:
4. Standardabweichung berechnen:
5. Entscheidungsregel aufstellen und entscheiden.

Linksseitiger Test
Rechtsseitiger Test
Zweiseitiger Test

• α = 10 % → z_α = 1,28
• α = 5 % → z_α = 1,64
• α = 2,5 % → z_α = 1,96
• α = 1 % → z_α = 2,33

Der Wert z_α hängt dabei vom gewählten Signifikanzniveau ab. Wenn du alle Werte einsetzt, kannst du ganz ohne Tabelle den A-Bereich berechnen und so eine Entscheidung treffen.

Hypothesentest — häufigste Fragen

• Wozu benötigt man einen Hypothesentest?
  

  Ein Hypothesentest dient dazu, Vermutungen über Zusammenhänge in der Realität zu überprüfen. Hierfür werden Hypothesen formuliert, die auf diesen Vermutungen basieren. Mithilfe eines statistischen Tests wird ermittelt, wie wahrscheinlich die aufgestellte Hypothese ist. Je nach Ergebnis wird die Hypothese entweder beibehalten oder verworfen.

• Was ist ein linksseitiger Hypothesentest?
  Bei einem linksseitigen Hypothesentest ist der Ablehnungsbereich links. Demnach führen kleine Werte/Prüfgrößen dazu, das die Nullhypothese abgelehnt wird.
  

t-Test

Wie das Testen von Hypothesen grundsätzlich funktioniert, weißt du jetzt. Eine Form davon ist der t-Test. Schau jetzt bei unserem Beitrag dazu vorbei, um zu verstehen, wie der Test funktioniert.