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Schwerpunkt berechnen

Du musst den Schwerpunkt einer Fläche berechnen? Wir zeigen dir hier und im Video, wie dafür das Tabellenverfahren richtig anwendest.

Inhaltsübersicht

Flächenschwerpunkt mit dem Tabellenverfahren berechnen

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Der Flächenschwerpunkt ist der Angriffspunkt der Gewichtskraft. Das heißt, die Fläche liegt im Gleichgewicht liegt, wenn du sie an diesem Punkt balancierst.

Ein Bild zeigt ein Lineal das auf einem Zeigefinger im Gleichgewicht liegt. Dafür muss man das Lineal an seinem Schwerpunkt balancieren. — Schwerpunkt bei einem Lineal

Um die Koordinaten des Schwerpunkts zu bestimmen, zerlegst du die Fläche in Teilstücke. Dann verwendest du diese Summenformeln:

$\bar{x} = \frac{\sum \textcolor{teal}{x_i} \cdot \textcolor{purple}{A_i}}{\sum \textcolor{purple}{A_i}} \qquad \bar{y} = \frac{\sum \textcolor{violet}{y_i} \cdot \textcolor{purple}{A_i}}{\sum \textcolor{purple}{A_i}}$

xᵢ und yᵢ sind die Schwerpunktkoordinaten der jeweiligen Teilfläche — gemessen im selben Referenzkoordinatensystem
Aᵢ ist der Flächeninhalt jeder Teilfläche

Wichtig: Negative Teilflächen gehen mit einem negativen Vorzeichen in die Formel ein.

Um die Summen übersichtlich zu addieren, legst du eine Tabelle an:

Teilfläche	xᵢ	yᵢ	Aᵢ	xᵢ · Aᵢ	yᵢ · Aᵢ
1
2
…
Σ	—	—	ΣAᵢ	Σ(xᵢ·Aᵢ)	Σ(yᵢ·Aᵢ)

Tipp: Achte auf konsistente Einheiten. Wenn du Längen in cm angibst, musst du die Fläche in cm² angeben.

Referenzkoordinatensystem festlegen

Bevor du die Tabelle füllst, legst du ein Referenzkoordinatensystem fest. Alle Schwerpunktkoordinaten xᵢ und yᵢ der Teilflächen müssen nämlich vom selben Ursprung aus gemessen werden.

In den meisten Aufgabenstellungen ist bereits ein Referenzkoordinatensystem vorgegeben. Ist das nicht der Fall, legst du es selbst fest.

Wähle dafür einfach einen passenden Ursprung — hier bietet sich häufig die linke untere Ecke der Fläche an. Von dort aus misst du später die Abstände zu den Schwerpunktkoordinaten aller Teilflächen.

Ein Bild zeigt eine Fläche in einem Referenzkoordinatensystem. Die linke untere Ecke der Fläche liegt auf dem Ursprung. — Fläche in einem Referenzkoordinatensystem

Übrigens: In der technischen Mechanik benutzt du hier oft y und z als Achsenbezeichnungen. Das Prinzip bleibt jedoch identisch.

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Schwerpunkte von Teilflächen berechnen

Nachdem das Koordinatensystem steht, zerlegst du die Fläche in einzelne Grundformen. Die dürfen sich nicht überlappen!

Gehe dabei so vor:

1. Teilflächen identifizieren — Suche nach Rechtecken, Dreiecken oder Kreisformen

2. Maße zuweisen — Markiere Breite, Höhe und Radius jeder Teilfläche

3. Flächen Aᵢ berechnen — Bestimme den Flächeninhalt jeder Teilfläche

4. Teilschwerpunkte bestimmen — Bestimme die Schwerpunktkoordinaten xᵢ und yᵢ jeder Teilfläche

Ein Bild zeigt, wie du bei wichtigen Grundformen den Schwerpunkt berechnest. — Schwerpunkte bei wichtigen Grundformen berechnen

Negativflächen berücksichtigen

Manchmal ist es leichter mit einer Grundfläche zu rechnen, die größer ist als die betrachtete Fläche. Die Aussparung ergibt dann eine negative Fläche.

Ein Bild zeigt eine Fläche in einem Referenzkoordinatensystem. Die linke untere Ecke der Fläche liegt auf dem Ursprung. — Fläche in einem Referenzkoordinatensystem

Die Fläche A_neg musst du dann mit einem negativen Vorzeichen in der Summenformel berücksichtigen.

Wichtig: Die Schwerpunktkoordinaten der negativen Fläche bekommen kein negatives Vorzeichen.

Flächenschwerpunkt: Beispiel

Aufgabe: Bestimme den Schwerpunkt S_F der folgenden Fläche.

Ein Bild zeigt eine rechteckige Form mit den Maßen 12 auf 8 cm. In der rechten oberen Ecke fehlt ein Stück von 4 mal 4 cm. — Form mit Ausschnitt

Schritt 1: Koordinatensystem festlegen

Setze den Ursprung in die untere linke Ecke der Form und trage die Achsen ein.

Ein Bild zeigt die selbe Form im Referenzkoordinatensystem. Die untere linke Ecke liegt auf dem Ursprung. — Form im Referenzkoordinatensystem

Schritt 2: Zerlegung in Teilflächen

Du zerlegst die Fläche in zwei Teile:

Teilfläche 1: Vollständiges Außenrechteck (12 cm × 8 cm)
Teilfläche 2: Ausschnitt — die fehlende Ecke oben rechts (4 cm × 4 cm)

Ein Bild zeigt die selbe Form im Referenzkoordinatensystem. Die Teilflächen - das vollständige Außenrechteck und die negative Fläche - sind gekennzeichnet. — Zerlegung in Teilflächen

Schritt 3: Teilschwerpunkte bestimmen

Für Teilfläche 1 liegt der Schwerpunkt in der Mitte des Außenrechtecks:

$x_1 = \frac{12}{2} = 6{,}0 \text{ cm} \qquad y_1 = \frac{8}{2} = 4{,}0 \text{ cm}$

Für Teilfläche 2 liegt der Schwerpunkt in der Mitte des Ausschnitts. Bachte, dass der Ausschnitt nicht am Ursprung anliegt — du musst diesen Teil der Strecke also noch addieren:

$x_2 = 8 + \frac{4}{2} = 10 \text{ cm} \qquad y_2 = 4 + \frac{4}{2} = 6 \text{ cm}$

Ein Bild zeigt die selbe Form im Referenzkoordinatensystem. Die Schwerpunkte der Teilflächen sind gekennzeichnet. Sie liegen jeweils genau in der Mitte. — Schwerpunkte der Teilflächen

Schritt 4: Flächeninhalte bestimmen

Berechne die Flächeninhalte für die zwei Teilflächen:

A₁ = 12 · 8 = 96 cm²

A₂ = 4 · 4 = 16 cm²

Teilfläche 2 ist eine negative Fläche — du fügst also noch ein negatives Vorzeichen ein: A₂ = – 16 cm².

Schritt 5: Tabelle ausfüllen

Trage deine Berechnungen in die Tabelle ein und berechne die Summen:

Teilfläche	xᵢ [cm]	yᵢ [cm]	Aᵢ [cm²]	xᵢ · Aᵢ [cm³]	yᵢ · Aᵢ [cm³]
1: Außenrechteck	6	4	96	576	384
2: Ausschnitt	10	6	−16	−160	−96
Σ	—	—	80	416	288

Schritt 6: Schwerpunktkoordinaten berechnen

$\bar{x} = \frac{\sum x_i \cdot A_i}{\sum A_i} = \frac{416}{80} = 5{,}2 \text{ cm}$

$\bar{y} = \frac{\sum y_i \cdot A_i}{\sum A_i} = \frac{288}{80} = 3{,}6 \text{ cm}$

Schritt 7: Plausibilität prüfen

Der Ausschnitt liegt oben rechts. Deshalb muss der Schwerpunkt der Fläche leicht unterhalb und links von der Mitte des Außenrechtecks liegen.

Ein Bild zeigt die selbe Form im Referenzkoordinatensystem. Der Schwerpunkt ist bei x gleich 3,6 und y gleich 5,2 eingezeichnet. — Schwerpunkt der Form

Schwerpunkt einzelner Flächen

Um den Flächenschwerpunkt mit dem Tabellenverfahren zu berechnen, berechnest du also die Schwerpunkte der Teilflächen. In unserem Beitrag zeigen wir dir, wie du die Schwerpunkte bestimmter Flächen schnell bestimmen kannst.

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