Anorganische Chemie

Lambert Beersches Gesetz

Lässt man elektromagnetische Strahlung durch eine absorbierende Substanz strahlen, so kann man unter Verwendung des Lambert Beerschen Gesetzes die Substanzkonzentration bestimmen. In diesem Beitrag erfährst du, was das Gesetz besagt und wie du es herleiten kannst. Außerdem betrachten wir, in welchen Bereichen es das Gesetz Anwendung und wann es überhaupt Gültigkeit besitzt.

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Inhaltsübersicht

Lambert Beersches Gesetz einfach erklärt

Merke
Mit dem Lambert Beersches Gesetz kannst du die Abnahme der Intensität beschreiben, wenn elektromagnetische Strahlung beim Durchqueren eines Mediums absorbiert wird.

Das Lambert Beersche Gesetz ist ein Spezialfall der Strahlungstransportgleichung und findet häufig Anwendung in der Photometrie. Es ist auch unter dem Namen Bouguer Lambert Beersches Gesetz bekannt.

Lambert Beersches Gesetz Geschichte

Im Jahr 1729 entdeckte Pierre Bouguer, dass die Strahlungsintensität einer elektromagnetischen Strahlung beim Durchqueren eines absorbierenden Materials mit der Weglänge abnimmt.  Da nach Übermittlungen auch J. H. Lambert an der Entwicklung des Gesetzes beteiligt gewesen sein soll, wird es heute Bouguer Lambertsches Gesetz genannt. Im Jahre 1852 modifizierte A. Beer das Bouguer Lambertsche Gesetz, sodass diese modifizierte Form nun unter dem Namen Lambert Beersches Gesetz bekannt ist.

Lambert Beersches Gesetz Formel

Das Lambert Beersche Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen der Intensität des transmittierten Lichts I_1 und der Intensität des einfallenden Lichts I_0. Die Intensität hat dabei die Einheit Watt pro Quadratmeter

\left[ \frac{W}{m^2}  \right].

Die Absorbanz eines Materials für Licht der Wellenlänge \lambda, was auch als Extinktion bezeichnet wird, ist durch das Lambert Beersche Gesetz gegeben

E_{\lambda} = \log_{10}\left( \frac{I_0}{I_1} \right) = \varepsilon_{\lambda} \cdot c \cdot d .

Hierbei repräsentiert  c die Konzentration der absorbierenden Substanz in der Flüssigkeit (in mol/m^3), d die Weglänge des Lichts im Material (in cm) und  \varepsilon_{\lambda} ist der dekadische Extinktionskoeffizient  bei der Wellenlänge \lambda. Der dekadische Extinktionskoeffizient ist eine spezifische Größe des gegebenen absorbierenden Materials.

Extinktion

Wie im letzten Abschnitt schon kurz erwähnt, ist die Extinktion die Abschwächung einer elektromagnetischen Welle beim Durchgang durch ein Medium. Diese Abschwächung hängt dabei von der Wellenlänge \lambda der Strahlung ab und wird von verschiedenen Vorgängen wie Streuung, Absorption, Beugung und Reflexion verursacht. Angenommen, I_0 ist die Intensität der einfallenden Strahlung und I_1 die Intensität nach dem Durchqueren des Mediums, dann ist die Extinktion gerade der logarithmische Kehrwert des Transmissionsgrades \tau

E_{\lambda} = \log_{10} \left( \frac{I_0}{I_1} \right) =- \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_0} \right) = - \log_{10} \left(\tau_{\lambda} \right).

Wobei der Transmissionsgrad \tau gerade die Durchlässigkeit eines Mediums beschreibt.

Lambert beersches Gesetz, Extinktion
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Extinktion

Lambert Beersches Gesetz Herleitung

Um das Lambert Beersches Gesetz herzuleiten, geht man von folgender experimenteller Überlegung aus. Man lässt elektromagnetische Strahlung auf eine absorbierende Substanz treffen, die sich in einer Küvette befindet. Dabei misst man die Intensität der Strahlung vor der Substanz und hinter der Substanz. Es zeigt sich hierbei, dass die differentielle Intensität der Strahlung nach dem Durchqueren der Substanz um den Betrag \mathrm{d}I_1 abgenommen hat. Außerdem ist dI_1 proportional zur Intensität I_1, zum Extinktionskoeffizienten \varepsilon^*, der moralen Konzentration c und der differentiellen Schichtdicke \mathrm{d}d

\mathrm{d}I_1 = - I_1 \cdot \varepsilon^* \cdot c \cdot \mathrm{d}d.

Intensität, Lambert Beersches Gesetz
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Lambert Beersches Gesetz Intensitätsmessung

Mit der Trennung der Variablen kann diese Differentialgleichung unter Verwendung der Anfangsbedingung I_1(0) = I_0 gelöst werden

\int \limits_{I_0}^{I_1} \frac{1}{s}\mathrm{d}s =- \int \limits_0^d   \varepsilon^* \cdot c \cdot \mathrm{d}t.

Damit erhält man folgende Gleichung:

\left.  \ln(s)\right|_{I_0}^{I_1} = -\left.\varepsilon^* \cdot c \cdot t \right|_0^d

\Leftrightarrow  \ln(I_1)-\ln(I_0) = -\varepsilon^* \cdot c \cdot d.

Die Abnahme der Intensität der elektromagnetischen Strahlung  beim Durchdringen einer Substanz mit der Konzentration c kann also durch eine Exponentialfunktion beschrieben werden:

\ln(I_1) = \ln(I_0)- \varepsilon^* \cdot c \cdot d

\Leftrightarrow I_1 = e^{\ln(I_0)- \varepsilon^* \cdot c \cdot d}

\Leftrightarrow I_1 = I_0 \cdot e^{-\varepsilon^* \cdot c \cdot d}.

Im Allgemeinen wird die Extinktion und der Extinktionskoeffizient nicht über den natürlichen Logarithmus definiert, sondern über den Logarithmus zur Basis 10. Da der natürliche Logarithmus und der Logarithmus zur Basis 10 linear zusammenhängen, kann man die obere Gleichung einfach in eine Gleichung mit dem Logarithmus zur Basis 10 überführen. Dafür schreiben wir die obere Gleichung zuerst noch einmal um:

-\ln\left( \frac{I_1}{I_0} \right) = \varepsilon^* \cdot c \cdot d

\Leftrightarrow \ln\left( \frac{I_0}{I_1}\right) = \varepsilon^* \cdot c \cdot d.

Mit \varepsilon = \log_{10}(e)\varepsilon^* \approx 0,434 \varepsilon^* erhält man dann die Gleichung mit dem Logarithmus zur Basis 10:

\log_{10}\left( \frac{I_0}{I_1} \right) = \varepsilon \cdot c \cdot d.

Lambert Beersches Gesetz Gültigkeit

Das Lambert Beersches Gesetz ist nicht in allen Situtationen gültig. Deshalb wird im Folgenden aufgezählt, unter welchen Bedingungen das Lambert Beersches Gesetz die Strahlungsintensität richtig beschreibt:

  • die absorbierende Substanz muss eine homogene Verteilung aufweisen;
  • es darf keine Strahlungskopplung geben;
  • die Mehrfachstreuung muss vernachlässigbar sein;
  • die Variation des Absorptionskoeffizienten innerhalb des verwendeten Spektralbereichs muss vernachlässigbar sein;
  • die Eigenemission muss vernachlässigbar sein, das heißt die transmittierte Strahlungsintensität muss über der Eigenstrahlung liegen;
  • die verwendete Substanz darf nur eine geringe Konzentration aufweisen, da bei starker Konzentration Wechselwirkungen auftreten, die zu größeren Abweichungen führen; und
  • es sollten keine Interferenzeffekte des Lichts auftreten, sodass die Welleneigenschaft des Lichts vernachlässigbar ist.

Lambert Beersches Gesetz Beispiel und Anwendung

Ein analoges Gesetz zum Lambert Beerschen Gesetz gilt auch für elektromagnetische Strahlung, die sich in dämpfenden Medien verschiedener Art ausbreitet. Aufgeführt seien hier zum Beispiel die Dämpfung von Licht in optischen Medien oder in Lichtwellenleitern. Allgemein drückt man das Gesetz aus durch

P(d)  =P_0 \cdot e^{\varepsilon'\cdot d}.

Dieses Gesetz beschreibt die Strahlungsleistung nach dem Durchqueren eines Mediums der Dicke d.  Dabei ist P_0 die Strahlungsleistung vor dem Durchqueren des Mediums und \varepsilon' der Absorptionskoeffizient in der Einheit 1/\mathrm{m}.  Hat man beide Intensitäten gemessen, so kann damit auch die Dicke d des Mediums bestimmt werden.

Dieses Gesetz findet in verschiedene Bereichen, wie zum Beispiel bei der Signalübertragung, der Fernerkundung oder der Computertomographie in modifizierter Form Anwendung.

Lichtwellenleiter

Lichtwellenleiter finden Verwendung bei der Übertragung von optische Signale über weite Strecken. Anstatt der oberen Formel, verwendet man in der Signalübertragungstechnik die modifizierte Formel

P(d) = P_0 \cdot 10^{-\frac{\varepsilon d}{10}}.

d beschreibt dabei die Länge des Lichtwellenleiters und \varepsilon die Dämpfung in dB/km. Man wählt diese Darstellung in der Nachrichtentechnik, da das Verhältnis von Leistungen im dezimal-logarithmischen Maß (Dezibel) gemessen wird

\varepsilon d = 10 \cdot \log\left( \frac{P_0}{P(d)} \right).

Fernerkundung und Atmosphäre

Das Lambert Beersches Gesetz findet auch bei der Fernerkundung Anwendung. Insbesondere für die Atmosphäre ist das Gesetz in modifizierter Form gegeben durch

I = I_0 \cdot e^{-m(\tau_a+ \tau_g + \tau_{\mathrm{NO}_2} + \tau_w + \tau_{\mathrm{O}_3} + \tau_r)}  .

Hierbei steht m für die atmosphärische Masse und \tau_x für die optische Dicke des Stoffes x. Somit  repräsentiert \tau_a die optische Dicke der Aerosole, \tau_g die optische Dicke der absorbierenden Gase wie Kohlendioxid CO_2 und molekularer Sauerstoff O_2 und \tau_{\mathrm{NO}_2} die optische Dicke von Stickstoffdioxid. Des Weiteren beschreibt \tau_w die optische Dicke von Wasserstoff, \tau_{\mathrm{O}_3} die optische Dicke von Ozon und \tau_{r} die Rayleigh-Streuung von molekularem Sauerstoff O_2 und von Stickstoff N_2.

Computertomographie

Die Computertomographie ist ein bildgebendes Verfahren, welches eingesetzt wird, um bestimmte Krankheitsbilder zu erkennen und bestimmte Organe, wie Herz und Lunge, zu beobachten. Auch in der Computertomographie findet das Lambert Beersches Gesetz Anwendung. Mit ihm wird die Abschwächung der Röntgenstrahlung beschrieben. Dabei hängt der Absorptionskoeffizient \mu von dem Ort x ab. Denn im menschlichen Körper absorbieren verschiedene Gewebearten unterschiedlich stark die Strahlung. Knochen absorbieren zum Beispiel mehr Strahlung als die Lunge. Die so gemessene Intensität I der Röntgenstrahlung hängt deshalb mit dem Absorptionskoeffizienten über folgendes Integral zusammen

I= I_0 \cdot e^{-\int \mu(x) \mathrm{d}x},

wobei I_0 die emittierte Strahlung der Röntgenröhre ist. Bei der Computertomographie erhält man ein Bild, das die Funktion \mu(x) in Graustufen darstellt, dabei wird der Absorptionskoeffizient \mu aus der Intensität I mit der oberen Formel berechnet.


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