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Determinante 2×2

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Determinante 2×2 einfach erklärt

Determinante 2×2 berechnen

Determinante 2×2 Aufgaben

In diesem Artikel zeigen wir dir, wie du die Determinante einer 2×2 Matrix berechnest. Du möchtest das Thema anschaulich erklärt bekommen? Dann schau dir unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Determinante 2×2 einfach erklärt

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Einer 2×2 Matrix kannst du eine Zahl zuordnen, die du Determinante nennst.

Betrachte die Matrix $A= \begin{pmatrix} {\textcolor{red}{3}} & {\textcolor{blue}{4}} \\ {\textcolor{blue}{1}} & {\textcolor{red}{5}} \end{pmatrix}$ . Um die 2×2 Determinante der Matrix A zu bestimmen, berechnest du zuerst das Produkt der Hauptdiagonale ${\textcolor{red}{3}} \cdot {\textcolor{red}{5}}$ und ziehst dann das Produkt der Nebendiagonale ${\textcolor{blue}{1}} \cdot {\textcolor{blue}{4}}$ ab.

$\det(A)= \begin{vmatrix} {\textcolor{red}{3}} & {\textcolor{blue}{4}} \\ {\textcolor{blue}{1}} & {\textcolor{red}{5}} \end{vmatrix} = {\textcolor{red}{3}} \cdot {\textcolor{red}{5}} - {\textcolor{blue}{1}} \cdot {\textcolor{blue}{4}} = 11$

Merke

Die Determinante einer 2×2 Matrix $A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ berechnest du wie folgt.

$\det(A) = \begin{vmatrix} {\textcolor{red}{a}} & {\textcolor{blue}{b}} \\ {\textcolor{blue}{c}} & {\textcolor{red}{d}} \end{vmatrix}= {\textcolor{red}{a}} \cdot {\textcolor{red}{d}} - {\textcolor{blue}{c}} \cdot {\textcolor{blue}{b}}$

Du rechnest also: Links oben mal rechts unten minus links unten mal rechts oben.

Hinweis: Für die Notation der Determinante findest du die Schreibweisen $\det(A)$ oder |A| .

Determinante 2×2 berechnen

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Du bestimmst die Determinante einer 2×2 Matrix indem du ihre Komponenten in die Formel $a \cdot d - c \cdot b$ einsetzt. Schauen wir uns dazu ein paar Beispiele an.

Beispiel 1

Betrachte als Beispiel die Matrix $A= \begin{pmatrix} {\textcolor{red}{1}} & {\textcolor{blue}{4}} \\ {\textcolor{blue}{2}} & {\textcolor{red}{3}} \end{pmatrix}$ . Für die Determinante berechnest du zuerst die Produkte der Diagonalen. Das heißt, du multiplizierst zuerst die Komponenten 1 und 3.

${\textcolor{red}{1}} \cdot {\textcolor{red}{3}} = 3$

Anschließend bestimmst du das Produkt aus 2 und 4.

${\textcolor{blue}{2}} \cdot {\textcolor{blue}{4}} = 8$

Um nun die 2×2 Determinante von A zu berechnen, ziehst du nun das zweite Produkt vom ersten Produkt ab.

$\det(A)= \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 8 = -5$

Beispiel 2

Möchtest du die Determinante der 2×2 Matrix $B= \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -4 & 0 \end{pmatrix}$ berechnen, so multiplizierst du auch hier wieder die Einträge der Diagonalen und subtrahierst sie anschließend. Als Ergebnis bekommst du

$\det(B) = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -4 & 0 \end{vmatrix}= -2 \cdot 0 + 4 \cdot 1 = 4$ .

Beispiel 3

Schauen wir uns noch ein Beispiel an. Um die Determinante der 2×2 Matrix $C= \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 6 \end{pmatrix}$ zu bestimmen, rechnest du

$\det(C)= \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 6 \end{vmatrix} = 4 \cdot 6 - 8 \cdot 3 = 0$ .

Weitere Themen zur Determinante

Neben der Determinante einer 2×2 Matrix haben wir noch weitere Themen für dich vorbereitet, die sich mit der Determinante beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:

Determinante 2×2 Aufgaben

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Im folgenden Abschnitt geben wir dir zwei Aufgaben, mit welchen du das Berechnen einer 2×2 Determinante üben kannst.

Aufgabe 1: Determinante berechnen 2×2

Berechne die Determinante der Matrix $A= \begin{pmatrix} -5 & -6 \\ 8 & 2 \end{pmatrix}$ .

Lösung Aufgabe 1

Für die Determinante der Matrix A setzt du die Einträge von A in die Formel $\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}= a \cdot d - c \cdot b$ ein. Damit ergibt sich für die Matrix A die Determinante

$\det(A)= \begin{vmatrix} -5 & -6 \\ 8 & 2 \end{vmatrix} = -5 \cdot 2 + 8 \cdot 6 = 38$ .

Aufgabe 2: 2×2 Matrix Determinante

Bestimme die Determinante der Matrix $A= \begin{pmatrix} -7 & -4 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$ .

Quiz zum Thema Determinante 2x2

Lösung Aufgabe 2

Auch hier verwendest du die Formel $\det(A) = a \cdot d - c \cdot b$ . Du rechnest somit

$\det(A)= \begin{vmatrix} -7 & -4 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} = 7 \cdot 3 + 0 \cdot 4 = 21$ .

zur Videoseite: Determinante 2x2

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