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Teste dein Wissen zum Thema Flächeninhalt Dreieck Vektoren!

Hier geht's zum Video „Kreuzprodukt / Vektorprodukt
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Flächeninhalt Dreieck Vektoren

Die Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Dreiecks erhältst du, indem du die Hälfte des Betrages vom Kreuzprodukt beider Vektoren berechnest. Wie genau das funktioniert, erfährst du hier und im Video

Quiz zum Thema Flächeninhalt Dreieck Vektoren
Inhaltsübersicht

Flächeninhalt Dreieck Vektoren berechnen

Wenn zwei Vektoren \vec{\textcolor{blue}{a}} und \vec{\textcolor{blue}{b}} ein Dreieck aufspannen, kannst du den Flächeninhalt des Dreiecks mit einer Formel bestimmen.

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Dreieck mit Vektoren

Du berechnest zuerst das Kreuzprodukt beider Vektoren. Den Betrag des Ergebnisses multiplizierst du dann mit ½:

A = \frac{1}{2} • |\vec{\textcolor{blue}{a}} \times \vec{\textcolor{blue}{b}}|

Flächeninhalt Dreieck Vektoren — Beispiel

Du hast die folgenden zwei Vektoren  gegeben:

\vec{\textcolor{blue}{a}}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 7 \end{array}\right) und \vec{\textcolor{blue}{b}}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ 8 \\ 1 \end{array}\right)

Nun sollst du den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen, das von ihnen aufgespannt wird. So gehst du dabei vor:

  1. Kreuzprodukt  der Vektoren \vec{\textcolor{blue}{a}} und \vec{\textcolor{blue}{b}} berechnen:

        \begin{align*}\vec{\textcolor{blue}{a}} \times \vec{\textcolor{blue}{b}} &=  \left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 7 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} 3 \\ 8 \\ 1 \end{array}\right)  = \left( \begin{array}{c} 4 \cdot 1 - 7 \cdot 8 \\ 7 \cdot 3 - 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 8 - 4 \cdot 3 \end{array}\right)  =  \left( \begin{array}{c} 4 - 56 \\ 21 - 2 \\ 16 - 12 \end{array}\right)\\ &= \left( \begin{array}{c} -52 \\ 19 \\ 4 \end{array}\right) \end{align*}

  2. Fläche des aufgespannten Dreiecks mithilfe des Betrags  berechnen: 

    A = \frac{1}{2} \cdot \left| \left( \begin{array}{c} -52 \\ 19 \\ 4 \end{array}\right) \right| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-52)^2 + 19^2 + 4^2} = \frac{1}{2} \cdot 55,51 = 27,76 FE

Die beiden Vektoren \vec{\textcolor{blue}{a}} und \vec{\textcolor{blue}{b}} spannen also ein Dreieck mit dem Flächeninhalt von 27,76 FE auf. Da du keine konkreten Einheiten gegeben hast, nutzt du Flächeneinheiten FE.

Flächeninhalt Dreieck Vektoren — häufigste Fragen

  • Wie berechnet man den Flächeninhalt von Dreiecken mit Vektoren?
    Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du, indem du den Betrag des Kreuzproduktes der beiden Vektoren mit ½ multiplizierst.

  • Welche Fläche spannen zwei Vektoren auf?
    Zwei Vektoren spannen eigentlich ein Viereck auf, dessen Flächeninhalt du mit dem Betrag des Kreuzproduktes berechnen kannst. Willst du aber die Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Dreiecks ermitteln, dann multiplizierst du den Betrag des Kreuzproduktes mit ½.
Quiz zum Thema Flächeninhalt Dreieck Vektoren

Kreuzprodukt

Prima, du kannst jetzt den Flächeninhalt eines Dreiecks mit Vektoren berechnen. Willst du mehr über das Kreuzprodukt erfahren? Dann schau direkt im Video dazu vorbei. 

Zum Video: Kreuzprodukt
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