Lineare Algebra

Eigenwert

In diesem Artikel erfährst du, was ein Eigenwert eigentlich ist und wie man Eigenwerte Schritt für Schritt berechnen kann. An zwei Beispielen wenden wir die Berechnung dann dann praktisch an und zeigen dir, auf was du achten musst!

Noch einprägsamer lässt sich das alles in einem Video  vermitteln, das wir zu dem Thema für dich erstellt haben.

Inhaltsübersicht

Eigenwerte einfach erklärt

Die Multiplikation einer Matrix  mit einem Vektor ergibt wieder einen Vektor. Für quadratische Matrizen gibt es bestimmte Vektoren, die man an die Matrix multiplizieren kann, sodass man den selben Vektor als Ergebnis erhält, nur mit einem Vorfaktor multipliziert. Einen solchen Vektor nennt man Eigenvektor  und der Vorfaktor heißt Eigenwert einer Matrix.

Eigenwertproblem

Es sei eine quadratische Matrix A gegeben. Die Suche nach einem Vektor v\neq 0 und einer Zahl \lambda, sodass die Gleichung

A\cdot v=\lambda\cdot v

erfüllt ist, nennt man Eigenwertproblem.

Eigenwerte und Eigenvektoren

Hat man eine Lösung gefunden, so nennt man die reelle oder komplexe Zahl \lambda einen Eigenwert der Matrix. Der Vektor v heißt dann Eigenvektor. Dieser darf nach der Definition nicht der Nullvektor sein. Die Menge der Eigenwerte einer Matrix wird als Spektrum der Matrix bezeichnet.

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Eigenwertproblem, Eigenvektor und Eigenwert

Eigenwert berechnen

Zunächst soll der Algorithmus zur Berechnung der Eigenwerte einer Matrix angegeben werden, bevor wir diesen herleiten wollen.

Algorithmus

Es sei die n\times n-Matrix A vorgegeben und zu dieser wollen wir die Eigenwerte berechnen. Folgende Schritte musst du dabei durchführen.

  1. Bilde die Matrix \left(A-\lambda E_n\right). E_n steht für die Einheitsmatrix. Du musst also in der Matrix A auf der Diagonalen immer den Wert \lambda abziehen.
  2. Berechne die Determinante dieser Matrix. Diese nennt man das charakteristische Polynom  \chi_A(\lambda)=\mathrm{det}\left(A-\lambda E_n\right) der Matrix A. Es ist ein Ausdruck in Abhängigkeit von \lambda.
  3. Bestimme die Nullstellen des charakteristischen Polynoms \chi_A(\lambda)=0. Das sind genau die gesuchten Eigenwerte der Matrix.

Herleitung

Nun wollen wir zeigen, wie man zu dieser Berechnungsvorschrift gelangt. Dazu betrachten wir erst einmal das Eigenwertproblem, das es zu lösen gilt:

A\cdot v=\lambda\cdot v

Diese Gleichung lässt sich mithilfe der Einheitsmatrix E_n umformulieren:

A\cdot v-\lambda\cdot v=0

\left(A-\lambda E_n\right)\cdot v=0

Gibt es nun eine Zahl \lambda und einen Vektor v, sodass dieser durch Multiplikation mit der Matrix \left(A-\lambda E_n\right) auf den Nullvektor abgebildet wird, so ist diese Matrix nicht von vollem Rang und die Multiplikation mit einem Vektor nicht injektiv . Dass die Matrix \left(A-\lambda E_n\right) keinen vollen Rang besitzt ist gleichbedeutend damit, dass ihre Determinante Null ist. Wenn es also eine Lösung des Eigenwertproblems gibt, muss gelten:

\mathrm{det}\left(A-\lambda E_n\right)=0

Um das Eigenwertproblem zu lösen, müssen also die Nullstellen des charakteristischen Polynoms

\chi_A(\lambda)=\mathrm{det}\left(A-\lambda E_n\right)

ermittelt werden, genau wie es der Algorithmus vorschreibt.

Beispiel: Eigenwert 3×3-Matrix

Nun wollen wir für eine 3×3-Matrix die Eigenwerte bestimmen. Dazu betrachten wir die folgende Matrix:

A=\left(\begin{array}{ccc}2&1&2\\1&2&2\\1&1&3\\\end{array}\right)

Wir wollen im Folgenden die drei Schritte des Algorithmus einzeln abarbeiten.

Zunächst berechnen wir dazu die Matrix \left(A-\lambda E_n\right):

\left(A-\lambda E_n\right)=\left(\begin{array}{ccc}2&1&2\\1&2&2\\1&1&3\\\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2-\lambda &1&2\\1&2-\lambda &2\\1&1&3-\lambda\\\end{array}\right)

Anschließend ermitteln wir deren Determinante:

\mathrm{det}\left(A-\lambda E_n\right)=\mathrm{det}\left(\begin{array}{ccc}2-\lambda &1&2\\1&2-\lambda &2\\1&1&3-\lambda\\\end{array}\right)\\=\left(2-\lambda\right)^2\cdot\left(3-\lambda\right)+2+2-2\cdot\left(2-\lambda\right)-2\cdot\left(2-\lambda\right)-\left(3-\lambda\right)=-\lambda^3+7\lambda^2-11\lambda + 5

Im letzten Schritt müssen wir die Nullstellen dieses Polynoms bestimmen. Durch Ausprobieren erhalten wir schnell die erste Nullstelle \lambda_1=1. Klammern wir dann den Faktor (\lambda -1) aus, erhalten wir:

-\lambda^3+7\lambda^2-11\lambda + 5=(\lambda -1)\cdot(-\lambda^2+6\lambda-5).

Die restlichen Nullstellen sind also Nullstellen des Polynoms -\lambda^2+6\lambda-5. Diese lassen sich mithilfe der Mitternachtsformel bestimmen:

\lambda_{2,3}=\frac{-6\pm\sqrt{36-20}}{-2}=3\mp2

Somit lauten die drei Eigenwerte der 3×3-Matrix \lambda_1=\lambda_2=1, \lambda_3=5.

Beispiel: Eigenwert symmetrische Matrix

In diesem Beispiel soll die symmetrische Matrix

A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&-1\\0&3&0\\-1&2&1\\\end{array}\right)

betrachtet werden. Auch hier wollen wir die Eigenwerte bestimmen.

Im ersten Schritt berechnen wir also wieder die Matrix \left(A-\lambda E_n\right):

\left(A-\lambda E_n\right)=\left(\begin{array}{ccc}1-\lambda&2&-1\\0&3-\lambda&0\\-1&2&1-\lambda\\\end{array}\right)

Nun bestimmen wir ihre Determinante:

\mathrm{det}\left(A-\lambda E_n\right)=\mathrm{det}\left(\begin{array}{ccc}1-\lambda&2&-1\\0&3-\lambda&0\\-1&2&1-\lambda\\\end{array}\right)\\=\left(1-\lambda\right)^2\cdot\left(3-\lambda\right)-\left(3-\lambda\right)=\left(3-\lambda\right)\cdot\left(\left(1-\lambda\right)^2-1\right)\\=\left(3-\lambda\right)\cdot\left(1-2\lambda+\lambda^2-1\right)\\=\left(3-\lambda\right)\cdot\left(-2\lambda+\lambda^2\right)=\left(3-\lambda\right)\cdot\left(\lambda\cdot\left(-2+\lambda\right)\right)=\left(3-\lambda\right)\cdot\lambda\cdot\left(-2+\lambda\right)

Der letzte Schritt besteht nun darin, die Nullstellen dieses Polynoms zu bestimmen. In der dargestellten Form des Polynoms lassen sich diese einfach ablesen. Die Eigenwerte der Matrix sind also \lambda_1=3, \lambda_2=0, \lambda_1=2.

Eigenschaften

Will man Eigenwerte berechnen, so ist es häufig nützlich, wenn man ein paar Eigenschaften darüber kennt. Daher sollen im Folgenden ein paar derer aufgezählt werden.

  • Sei \lambda ein Eigenwert der invertierbaren Matrix A mit dem Eigenvektor v. Dann ist auch \frac{1}{\lambda} ein Eigenwert der inversen Matrix von A zum Eigenvektor v.
  • Seien \lambda_i die Eigenwerte der Matrix A\in\mathbb{C}^{n\times n}. Dann gilt:
    1.     \[\sum_{i=1}^n \lambda_i=\mathrm{Spur}(A)\]

    2.     \[\prod_{i=1}^n\lambda_i=\mathrm{det}(A)\]

  • Ist \lambda ein Eigenwert einer Matrix A, so ist er auch ein Eigenwert der transponierten Matrix A^T und umgekehrt. Das Spektrum von A stimmt also mit dem Spektrum der Transponierten A^T überein.
  • Jeder Eigenwert einer reellen symmetrischen Matrix ist reell. Im Allgemeinen können aber auch komplexe Eigenwerte durchaus auftreten.

Mit Kenntnis dieser Eigenschaften lassen sich häufig Eigenwerte bestimmen, ohne dabei viel rechnen zu müssen.


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