Gram Schmidt Verfahren
Mit dem Gram Schmidt Verfahren kannst du ein Orthogonal- oder Orthonormalsystem bestimmen. Wie das in beiden Fällen funktioniert, zeigen wir dir in diesem Artikel. Für beide Fälle haben wir auch ein Beispiel parat und wir erklären dir auch, weshalb das Verfahren überhaupt funktioniert.
Um das Gram Schmidt Verfahren aber noch einprägsamer für dich aufzubereiten, haben wir extra ein Video dazu erstellt.
Inhaltsübersicht
Gram Schmidt Verfahren einfach erklärt
Wenn du ein System linear unabhängiger Vektoren hast, dann kannst du mit dem Gram Schmidt Verfahren aus diesen Vektoren ein Orthogonalsystem oder ein Orthonormalsystem bestimmen. Diese Systeme erzeugen wieder den selben Untervektorraum, wie die Ausgangsvektoren. Das Gram Schmidt Verfahren zur Berechnung eines Orthogonalsystems heißt auch Gram Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren, oder auch Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren genannt. Das Verfahren, mit welchem du das Orthonormalsystem bestimmen kannst, heißt analog Gram Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren. Beide Vorgehen ähneln sich allerdings stark, worauf wir später im Artikel noch genauer eingehen werden. Stellen die linear unabhängigen Ausgangsvektoren eine Basis dar, so ist auch das berechnete Orthogonalsystem eine Orthogonalbasis. Berechnet man aus ihnen ein Orthonormalsystem. So erhält man eine Orthonormalbasis .#
Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren
Mit dem Gram Schmidt Verfahren zur Orthogonalisierung berechnet man aus linear unabhängigen Vektoren sukzessive die Vektoren . Diese stellen dann das Orthogonalsystem dar. Dabei wird der erste Vektor unverändert gelassen und entspricht somit dem Vektor . Der darauffolgende Vektor muss nun zu orthogonalisiert werden. Dazu wird die orthogonale Projektion von auf betrachtet. Der Differenzenvektor zwischen und dieser orthogonalen Projektion ist dann orthogonal zu . Für die Berechnung des nächsten Vektors geht man ähnlich vor. Allerdings muss jetzt die Projektion auf den Spann der bisher berechneten Vektoren betrachtet werden.
Algorithmus
Aus den linear unabhängigen Vektoren werden die Vektoren des Orthogonalsystems wie folgt berechnet:
Hierbei stellt die orthogonale Projektion von auf den Spann der bisher berechneten Vektoren dar.
Gram Schmidt Verfahren Beispiel
Wir wollen die Idee des Gram Schmidt Verfahrens an einem kurzen Beispiel noch einmal demonstrieren. Dazu betrachten wir die linear unabhängigen Vektoren .
Das eben beschriebene Verfahren soll uns nun zwei orthogonale Vektoren liefern.
Hierfür schreibt der Algorithmus vor, dass der erste Vektor unverändert bleiben soll:
Den zweiten Vektor berechnen wir gemäß des Algorithmuses wie folgt.
Mithilfe des Skalarprodukts kannst du noch kontrollieren, ob auch tatsächlich orthogonal zu ist.
Gram Schmidt Orthonormalisierungsverfahren
Das Gram Schmitsche Orthonormalisierungsverfahren ist ganz ähnlich dem Orthogonalisierungsverfahren. Allerdings verfolgt es das Ziel, ein Orthonormalsystem zu erhalten. Daher wird das Orthogonalisierungsverfahren dahingehend modifiziert, dass jeder neu berechneter Vektor normiert wird. Erst danach bestimmt man den nächsten Vektor. Arbeitet man dann mit dem eben normierten Vektor weiter, so vereinfacht sich dieser Schritt ein wenig gegenüber der Berechnung im Orthogonalisierungsverfahren.
Algorithmus
(Normieren des Vektors)
(Orthogonalisieren des zweiten Vektors )
(Normieren des Vektors )
(Orthogonalisieren des dritten Vektors )
(Normieren des Vektors )
(Orthogonalisieren des -ten Vektors )
(Normieren des Vektors )
Eine Möglichkeit zur Berechnung eines Orthonormalsystems wäre es auch zunächst ein Orthogonalsystem zu ermitteln und erst zum Schluss alle Vektoren zu normieren.
Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren Beispiel
Auch zur Bestimmung eines Orthonormalsystems mithilfe des Gram Schmidt Verfahrens wollen wir ein Beispiel anführen. Dazu betrachten wir die Vektoren .
Zunächst müssen wir den Vektor normieren.
Nun orthogonalisieren wir den zweiten Vektor:
Abschließend muss dieser Vektor nur noch normiert werden.
Du siehst, dass durch das Normieren zwischen den Schritten schnell unhandliche Zahlen entstehen können. Daher ist es oft sinnvoll, zunächst einmal ein Orthogonalsystem zu bestimmen. Anschließend kann man alle Vektoren des Systems noch normieren.
Funktionsweise des Verfahrens
Wir wollen zum Schluss noch kurz darlegen, weshalb das Gram Schmidt Verfahren überhaupt zum gewünschten Ziel führt. Dazu nehmen wir an, dass wir aus unseren gegebenen Vektoren bereits bis zu dem Vektor alle Vektoren orthogonalisiert haben. Wir haben also schon die Vektoren bestimmt. Nun wollen wir den Vektor so anpassen, dass der dadurch erhaltene Vektor orthogonal zu den Vektoren ist. Dazu ziehen wir eine Linearkombination vom Vektor ab:
Nun müssen wir allerdings die passenden Linearfaktoren finden, sodass auch tasächlich orthogonal zu den anderen Vektoren ist. Wir zeigen, dass dies für folgende Linearfaktoren gilt:
Dazu berechnen wir das Skalarprodukt aus mit einem beliebigen bereits berechneten Vektor .
Das Skalarprodukt ist Null und somit sind die Vektoren orthogonal.