Drehmatrix
Mit der Drehmatrix kannst du Vektoren im Raum um einen bestimmten Winkel drehen. Wenn du wissen willst, wie das funktioniert, schau dir doch den Artikel oder unser Video an.
Inhaltsübersicht
Drehmatrix einfach erklärt
Mit einer Drehmatrix oder auch Rotationsmatrix kannst du einen Vektor um den Winkel gegen den Uhrzeigersinn drehen. Rotationsmatrizen sind orthogonal. Ihre Determinante hat außerdem den Wert von +1.
Im sieht die Drehmatrix wie folgt aus:
Multiplizierst du die Drehmatrix mit einem Vektor und setzt für zum Beispiel 60° ein, drehst du den Vektor um 60° im Koordinatensystem:
Merke: Möchtest du deinen Vektor im Uhrzeigersinn drehen, musst du den Vektor mit der Inversen der Drehmatrix multiplizieren.
Drehmatrix R3
Die Drehmatrix gibt es natürlich auch im . Allerdings musst du hier aufpassen: Im kannst du deinen Vektor um die x1-,x2 –oder x3 -Achse drehen.
Deine Rotationsmatrizen sehen dann jeweils so aus:
R3 |
x1 -Koordinate () |
x2 -Koordinate () |
x3 -Koordinate () |
Drehmatrix |
|
|
|
Wenn du den Vektor um 90° um die x1 -Achse drehen willst, benötigst du die Rotationsmatrix :
Dann setzt du 90° für in deiner Drehmatrix ein und multiplizierst sie mit dem Vektor . Bei der Matrixmultiplikation multiplizierst du für den ersten Eintrag wieder die erste Zeile der Matrix mit der Spalte des Vektors. Für den zweiten Eintrag musst du dann die zweite Zeile der Matrix mit der Spalte des Vektors mal nehmen und für den dritten Eintrag dann die dritte Zeile der Drehmatrix mit der Spalte des Vektors:
1.Beispiel:
Drehe den Vektor um 30° gegen den Uhrzeigersinn.
Lösung:
Dafür benötigst du deine Drehmatrix aus dem . Wenn du deine Drehmatrix berechnen möchtest, setzt du 30° für ein. Dann multiplizierst du diese mit deinem Vektor . Wenn du Matrizen multiplizieren willst, rechnest du immer Zeile mal Spalte. Die erste Zeile deiner Drehmatrix wird mit der Spalte deines Vektors multipliziert. So erhältst du den ersten Eintrag deines rotierten Vektors . Für den zweiten Eintrag musst du die zweite Zeile deiner Rotationsmatrix mit der Spalte deines Vektors multiplizieren:
2.Beispiel:
Drehe den Vektor um 60° im Uhrzeigersinn.
Lösung:
Weil du den Vektor im Uhrzeigersinn drehen möchtest, brauchst du die Inverse Drehmatrix . Du musst für 60° einsetzen und deine Matrix mit multiplizieren.
Drehmatrix R2 Herleitung
Die Drehmatrix lässt sich im gut mit Hilfe des Einheitskreises herleiten:
Zuerst betrachtest du den Einheitsvektor e1 :
Diesen versuchst du um den Winkel zu drehen. Dafür kannst du den Einheitskreis benutzen. An diesem drehst du den Vektor gegen den Uhrzeigersinn:
Wenn du den Einheitsvektor e1 am Einheitskreis um den Winkel gegen den Uhrzeigersinn drehen möchtest, ergibt sich der neue Vektor:
Jetzt kannst du dir das Gleiche noch bei dem Einheitsvektor e2 anschauen:
Der neue Vektor lautet dann:
Du kannst mit der Linearkombination der beiden Einheistvektoren jeden Vektor bilden. Das bedeutet, dass du durch die gleiche Linearkombination mit den beiden gedrehten Einheitsvektoren um den Winkel den gedrehten Vektor bekommst. Schau dir dazu den Vektor an:
Dieser setzt sich aus zweimal dem Einheitsvektor und viermal dem Einheitsvektor zusammen:
Möchtest du den Vektor um den Winkel drehen, kannst du einfach das zweifache des ersten gedrehten Einheitsvektors mit dem vierfachen des zweiten gedrehten Einheitsvektors addieren:
Das ist aber das gleiche, als wenn du den Vektor einfach mit der Drehmatrix multiplizieren würdest:
Du siehst also, dass die erste Spalte der Rotationsmatrix genau den x-Anteil des gedrehten Vektors bestimmt und die zweite Zeile den y-Anteil.
Drehmatrix R3 Beispiele
Schau dir zum Schluss noch die Drehmatrix im an.
1.Beispiel
Drehe den Vektor um 45° um die x1 -Achse.
Lösung:
Da du den Vektor um die x1 -Achse drehen sollst, musst du für die Rotation Matrix verwenden. In diese setzt du dann für 45° ein und multiplizierst sie mit dem Vektor :
2.Beispiel:
Drehe den Vektor um 180° um die x1 -Achse.
Lösung:
Damit du den Vektor um die x1 -Achse drehen kannst, brauchst du die Drehmatrix . Für setzt du dann 180° ein und multiplizierst diese mit dem Vektor . Für die Einträge deines neuen Vektors rechnest du dann wieder Zeile mal Spalte und erhältst:
Arten der Drehung
Du darfst beim Rechnen mit Rotationsmatrizen nicht vergessen, dass es zwei verschiedene Arten von Drehungen gibt.
Aktive Drehung
Bei einer aktiven Drehung drehst du den Vektor gegen den Uhrzeigersinn. Das bedeutet du verwendest für die Rotation Matrix :
Merke: Bei der aktiven Drehung verwendest du immer die Drehmatrix .
Passive Drehung
Bei einer passiven Drehung drehst du das Koordinatensystem. Das ist gleichbedeutend, als wenn du deinen Vektor im Uhrzeigersinn drehen würdest. Du verwendest für die Rotation dafür die Inverse der Drehmatrix:
Merke: Bei der passiven Drehung verwendest du immer die Inverse der Drehmatrix .
Matrizenmultiplikation
Wie du gesehen hast, musst du, um die Drehmatrix überhaupt anwenden zu können, ganz schön fit in Matrizenmultiplikation sein. Wenn du das nochmal üben möchtest, schau dir doch direkt unser Video dazu an!