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Mittelpunkt einer Strecke berechnen

Du willst wissen, wie du den Mittelpunkt einer Strecke mithilfe von Vektoren berechnest? Hier findest du einfache Erklärungen, Beispiele und Übungsaufgaben.

Inhaltsübersicht

Mittelpunkt einer Strecke — Mittelpunktformel

Um den Mittelpunkt einer Strecke zwischen A und B zu berechnen, kannst du entweder die Mittelpunktformel verwenden oder eine Linearkombination von Vektoren. Schau dir zunächst die Mittelpunktformel an:

Stell dir vor, du willst den Mittelpunkt der Strecke [AB] zwischen A (1, 3, 4) und B (-3, 5, 6) ausrechnen. Dafür musst du nur die Koordinaten von A und B in diese Formel einsetzen:

$M_{\textcolor {red}A\textcolor {blue}B} = \left( \frac{\textcolor {red}{a_1} + \textcolor {blue}{b_1}}{2}, \frac{\textcolor {red}{a_2} + \textcolor {blue}{b_2}}{2}, \frac{\textcolor {red}{a_3} + \textcolor {blue}{b_3}}{2} \right) =\left( \frac{\textcolor {red}1 + (\textcolor {blue}{-3})}{2}, \frac{\textcolor {red}3 + \textcolor {blue}5}{2}, \frac{\textcolor {red}4 + \textcolor {blue}6}{2} \right)$

Die Koordinaten des Mittelpunkts bekommst du dann, wenn du jetzt die einzelnen Bestandteile ausrechnest:

$M_{\textcolor {red}A\textcolor {blue}B} = \left(\frac{-2}{2}, \frac{8}{2}, \frac{10}{2} \right) = (-1, 4, 5)$

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Mittelpunkt einer Strecke in der Ebene

Es kann auch sein, dass du zwei Punkte wie C (1, 2) und D (3, 6) hast, die nur zwei Koordinaten haben statt drei. In dem Fall sieht die Formel so aus:

$\ M_{\textcolor {green}C\textcolor {orange}D} = \left(\frac{\textcolor{green}{c_1} + \textcolor {orange}{d_1}}{2}, \frac{\textcolor{green}{c_2} +\textcolor{orange}{d_2}}{2}\right) = \left(\frac{ \textcolor{green}1 + \textcolor{orange}3}{2}, \frac{\textcolor{green}2 + \textcolor{orange}6}{2} \right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{8}{2}\right) = (2, 4)$

Mittelpunkt berechnen — Linearkombination von Vektoren

Du kannst den Mittelpunkt einer Strecke auch mithilfe einer Linearkombination von Vektoren berechnen. Dafür brauchst du folgende Formel:

$\vec{0M} = \ \vec{\textcolor {red}{0A}} + \frac {1}{2}\cdot \vec{\textcolor {red}A\textcolor {blue}B}$

Dabei ist $\vec{\textcolor {red}{0A}}$ der Ortsvektor von A, also der Vektor, der vom Koordinatenursprung zum Punkt A führt. $\vec{\textcolor {red}A\textcolor {blue}B}$ ist der Richtungsvektor, der von A zu B zeigt.

Mittelpunkt einer Strecke Vektoren — Beispiel

Sieh dir wieder die Punkte A (1, 3, 4) und B (-3 , 5, 6) an. Jetzt willst du den Mittelpunkt $\ M_{\textcolor {red}A\textcolor {blue}B}$ der Strecke [AB] bestimmen. Dafür nimmst du den Ortsvektor $\ \vec{\textcolor {red}{0A}}$ vom Punkt A und addierst dazu die Hälfte des Richtungsvektors $\ \vec{\textcolor {red}A\textcolor {blue}B}$ :

Für den Ortsvektor $\ \vec{\textcolor {red}{0A}}$ gilt:
$\vec{\textcolor {red}{0A}} = \begin{pmatrix} \textcolor {red}1 \\ \textcolor {red}3 \\ \textcolor {red}4\end{pmatrix}$
Jetzt brauchst du noch den Richtungsvektor $\ \vec{AB}$ . Den rechnest du so aus:
$\vec{\textcolor {red}A\textcolor {blue}B} = \begin{pmatrix} (\textcolor {blue}{-3})&-&\textcolor {red}1 \\ \textcolor {blue}5& -& \textcolor {red}3 \\ \textcolor {blue}6&-&\textcolor {red}4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \textcolor {violet}{-4} \\ \textcolor {violet} 2 \\ \textcolor {violet}2\end{pmatrix}$
Nun setzt du die beiden Vektoren in die Formel ein:
$\begin{align*} \vec{0M}&=\begin{pmatrix} \textcolor {red}1 \\ \textcolor {red}3 \\ \textcolor {red}4\end{pmatrix} + \frac {1}{2}\cdot \begin{pmatrix} \textcolor {violet}{-4} \\ \textcolor {violet} 2 \\ \textcolor {violet}2\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \textcolor {red}1 \\ \textcolor {red}3 \\ \textcolor {red}4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac {1}{2}&\cdot&(\textcolor {violet}{-4}) \\\frac {1}{2}&\cdot& \textcolor {violet}2 \\ \frac {1}{2}&\cdot& \textcolor {violet} 2\end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} \textcolor {red}1 \\ \textcolor {red}3 \\ \textcolor {red}4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2\\1\\1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \textcolor {red}{1}&+&(-2) \\ \textcolor {red}3& +&1 \\ \textcolor {red}4&+&1\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}-1\\4\\5 \end{pmatrix} \end{align*}$

Damit hast du den Ortsvektor $\vec{0M}=\begin{pmatrix}-1\\4\\5 \end{pmatrix}$ vom Mittelpunkt der Strecke [AB]. In der Punktschreibweise ist das:

M_AB = (-1, 4, 5)

Tipp: Falls du dir nochmal anschauen willst, wie du mit Vektoren rechnest, schau hier rein.

Herleitung der Linearkombination

Vektoren lassen sich als Kombination von anderen Vektoren darstellen. Du kannst dir das vorstellen, wie verschiedene Wege, die zum selben Punkt führen.

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Du willst vom Koordinatenursprung zum Mittelpunkt der Strecke [AB] gelangen. Dazu könntest du entweder direkt den Vektor $\vec{0M}$ lang gehen oder du gehst erst den Vektor $\vec{0A}$ zum Punkt A und von da dann die Hälfte der Strecke [AB] in Richtung B. In beiden Fällen kommst du beim Mittelpunkt an.

Es gilt also:

$\vec{0M} =\ \vec{\textcolor {red}{0A}} + \frac {1}{2}\cdot \vec{\textcolor {red}A\textcolor {blue}B}$

Übrigens: Die Linearkombination geht natürlich auch andersherum: Du gehst erst zum Punkt B und dann die Hälfte der Strecke [BA].
Die Formel sieht dann so aus:

$\vec{0M} = \vec{0B} + \frac {1}{2}\cdot \vec{BA}$

Mittelpunkt einer Strecke berechnen — Übungsaufgaben

Aufgabe 1:
E(3,6,8) und F(5,4,10) sind zwei Punkte im Raum. Berechne den Mittelpunkt der Strecke [EF] mit der Mittelpunktformel.

Lösung:

$M_{AB} = ( \frac{3 + 5}{2}, \frac{6 + 4}{2}, \frac{8 + 10}{2} )= ( \frac{8}{2}, \frac{10}{2}, \frac{18}{2} )= (4,5,9)$

Aufgabe 2:
G(5,7,-2) und H(7,3,10) sind zwei Punkte im Raum. Berechne den Mittelpunkt der Strecke [GH] mithilfe einer Linearkombination.

Lösung:

$\begin{align*} \vec{0M}&=\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ -2\end{pmatrix} + \frac {1}{2}\cdot \begin{pmatrix} 7&-&5\\ 3&-&7\\ 10&-&(-2)\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}5 \\ 7 \\ -2\end{pmatrix} + \frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\12\end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ -2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\-2\\6 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}6\\5\\4 \end{pmatrix} \end{align*}$

→ $\ M_{GH} = (6,5,4)$

Mittelpunkt einer Strecke berechnen — häufigste Fragen

Wie berechnet man den Mittelpunkt einer Strecke?
Den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten A ( $\ a_1, a_2, a_3$ ) und B( $\ b_1, b_2, b_3$ ) berechnest du mit der Mittelpunktformel. Dafür setzt du die Koordinaten der beiden Punkte in diese Formel ein: $\ M_{AB} = (\frac{{a_1} + {b_1}}{2}, \frac{{a_2} + {b_2}}{2}, \frac{{a_3} + {b_3}}{2})$
Wie berechnet man den Mittelpunkt einer Strecke mit Vektoren?
Du kannst den Mittelpunkt einer Strecke [AB] auch mithilfe einer Linearkombination von Vektoren berechnen. Es gilt: $\ \vec{0M}$ = $\ \vec{0A} + \frac {1}{2}\cdot \vec{AB}$

Flächeninhalt Dreieck Vektoren

Du weißt jetzt, wie man den Mittelpunkt einer Strecke berechnen kann. Mit Vektoren kannst du aber auch zum Beispiel den Flächeninhalt eines Dreiecks bestimmen! Wie das geht, erfährst du hier.

Zum Video: Flacheninhalt Dreieck Vektoren

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