Was sind die drei Einheitsvektoren?

Die drei Einheitsvektoren in sind die Standardrichtungen entlang der – – und -Achse. Du schreibst sie als , und . Jeder von ihnen hat die Länge 1.

Warum bleibt die Richtung gleich, wenn man einen Vektor durch seinen Betrag teilt?

Beim Teilen eines Vektors durch seinen Betrag bleibt die Richtung gleich, weil du alle Koordinaten mit derselben positiven Zahl multiplizierst. Dadurch wird der Vektor nur gestreckt oder gestaucht und er zeigt weiter auf derselben Linie. Zum Beispiel wird durch zu .

Kommt beim Normieren genau derselbe Vektor zurück, wenn man einen Vektor mit der Länge 1 normiert?

Beim Normieren kommt genau derselbe Vektor zurück, wenn der Vektor schon die Länge 1 hat. Du rechnest nämlich und bei ist das . Zum Beispiel bleibt unverändert.

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Einheitsvektor

Name: Einheitsvektor
Uploaded: 2026-03-24T07:20:20Z
Duration: 4 min 26 s
Description: Du möchtest wissen, was ein Einheitsvektor ist und wie du ihn berechnen kannst? Hier und im Video erfährst du es!

Wichtige Inhalte in diesem Video

Einheitsvektor einfach erklärt

(00:12)

Einheitsvektor berechnen Beispiele

(00:47)

Einheitsvektor Anwendungsbeispiel

(03:09)

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Inhaltsübersicht

Einheitsvektor einfach erklärt

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(00:12)

Ein Einheitsvektor ist ein Vektor der Länge 1.

Du machst aus einem normalen Vektor einen Einheitsvektor, indem du den Vektor durch seine Länge teilst.

Beispiel: Berechne den Einheitsvektor $\vec{e}_v$ von $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{magenta}{3} \\ \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{orange}{4} \end{array}\right)$ .

Berechne die Länge/den Betrag des Vektors.

$\textcolor{blue}{|\vec{v}|} = \sqrt{\textcolor{magenta}{3}^2 + \textcolor{red}{0}^2 +\textcolor{orange}{4}^2} = \textcolor{blue}{5}$
Teile deinen Vektor durch die Länge.

$\vec{e}_v = \frac{1}{\textcolor{blue}{5}} \cdot \left(\begin{array}{c} \textcolor{magenta}{3} \\ \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{orange}{4} \end{array}\right)$

Einheitsvektor berechnen Formel

$\vec{e}_v = \frac{1}{\textcolor{blue}{| \vec{v}|}} \cdot \vec{v}$

Das ist doch gar nicht so schwer, oder? Schau dir gleich noch weitere Beispiele dafür an, wie du aus einem Vektor einen Einheitsvektor bestimmen kannst.

Einheitsvektor berechnen Beispiele

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(00:47)

Beispiel in R²:

Betrachte als Beispiel den Vektor $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}\right)$ . Um diesen Vektor auf die Länge 1 zu bringen, brauchst du zuerst den Betrag des Vektors.

$|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$

Jetzt teilst du deinen Vektor durch die Länge. Du rechnest also

$\vec{e}_v = \frac{1}{5} \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \frac{4}{5} \\ \frac{3}{5} \end{array}\right).$

Einheitsvektor, Einheitsvektor berechnen, Einheitsvektor bestimmen, Was ist ein Einheitsvektor?, Vektor durch Betrag — Einheitsvektor in 2D

Beispiel in R³:

Um den Vektor $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ 3 \end{array}\right)$ zu normieren, berechnest du erst den Betrag von $\vec{v}$ .

$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + 3^2} = 7$

Erst dann kannst du den Einheitsvektor bestimmen.

$\vec{e}_v = \frac{1}{7} \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \frac{2}{7} \\ \frac{6}{7} \\ \frac{3}{7} \end{array}\right)$

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Länge eines Einheitsvektors überprüfen

Das Besondere am Einheitsvektor ist, dass die Länge des Vektors immer 1 beträgt.

Willst du also überprüfen, ob du den Einheitsvektor richtig berechnet hast, so musst du lediglich den Betrag des Vektors bestimmen.

Merke

Für einen Einheitsvektor $\vec{e}_v$ gilt immer: $|\vec{e}_v| = 1$ .

Beispiel

Um zu überprüfen, ob zum Beispiel der Vektor $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} -4 \\ 3 \end{array}\right)$ normiert ist, also die Länge 1 hat, bestimmst du den Betrag von $\vec{v}$ .

$|\vec{v}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = 5$

Da die Länge ungleich 1 ist, ist $\vec{v}$ nicht normiert. Um den Einheitsvektor zu berechnen, teilst du einfach den Vektor durch seine Länge und erhältst

$\vec{e}_v = \frac{1}{5} \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -\frac{4}{5} \\ \frac{3}{5} \end{array}\right).$

Nun kannst du noch prüfen, ob $\vec{e}_v$ die Länge 1 hat.

$|\vec{e}_v| = \sqrt{(-\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2} = 1$

Super, jetzt hast du als Ergebnis die 1 erhalten!

Einheitsvektor Anwendungsbeispiel

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(03:09)

Wenn du von einem bestimmten Punkt aus eine Strecke in vorgegebener Richtung entlanglaufen willst, so verwendest du dafür den Einheitsvektor.

Betrachte zum Beispiel den Punkt $A(3 \vert 1 \vert 4)$ . Angenommen du möchtest nun von A aus 9 Einheiten in Richtung $\vec{v}= \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right)$ gehen.

Um dein Zielpunkt P zu berechnen, musst du erst einmal $\vec{v}$ normieren. Dafür berechnest du den Betrag des Vektors

$| \vec{v} | = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2} = 6$

und teilst $\vec{v}$ dann durch seine Länge

$\vec{e}_v = \frac{1}{6} \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{array}\right).$

Nun kannst du den Punkt P berechnen, indem du beim Punkt A startest und 9 mal in Richtung $\vec{e}_v$ gehst.

$\vec{P} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) + 9 \cdot \left(\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 9 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)$

Somit erhältst du den Punkt $P(9 \vert 4 \vert -2)$ als Ergebnis.

Einheitsvektor Aufgaben

Im Folgenden geben wir dir zwei Aufgaben, womit du die Berechnung der Einheitsvektoren üben kannst.

Aufgabe 1: Einheitsvektoren überprüfen

Überprüfe, ob es sich bei den folgenden Vektoren um Einheitsvektoren handelt.

a) $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 0,8 \\ -0,6 \end{array}\right)$

b) $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} -5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$

Lösung Aufgabe 1

a) Um zu überprüfen, ob $\vec{a}$ normiert ist, berechnest du seinen Betrag.

$| \vec{a} | = \sqrt{0,8^2 + (-0,6)^2} = 1$

Da seine Länge 1 beträgt, handelt es sich um einen Einheitsvektor.

b) Berechne zuerst den Betrag des Vektors.

$| \vec{b} | = \sqrt{(-5)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{26} \neq 1$

Da der Betrag von $\vec{b}$ ungleich 1 ist, ist der Vektor also nicht normiert.

Aufgabe 2: Einheitsvektoren berechnen

Bestimme von den folgenden Vektoren die Einheitsvektoren und überprüfe das Ergebnis auf Richtigkeit.

a) $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array}\right)$

b) $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ -5 \\ 2 \end{array}\right)$

Lösung Aufgabe 2

a) Zuerst berechnest du den Betrag vom $\vec{a}$

$| \vec{a} | = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$

und teilst dann den Vektor durch seine Länge

$\vec{e}_a = \frac{1}{\sqrt{13}} \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array}\right).$

Damit kannst du den Einheitsvektor bestimmen

$\vec{e}_a = \left(\begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13}} \\ -\frac{3}{\sqrt{13}} \end{array}\right).$

Zum Schluss kannst du noch den Betrag von $\vec{e}_a$ überprüfen

$| \vec{e}_a | = \sqrt{(\frac{2}{\sqrt{13}})^2 + (-\frac{3}{\sqrt{13}})^2} = 1$

Damit ist der Vektor normiert.

b) Auch hier berechnest du zuerst die Länge vom Vektor $\vec{b}$ . Du rechnest also

$| \vec{b} | = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2 + 2^2} = \sqrt{30}$

Nun teilst du $\vec{b}$ durch seine Länge

$\vec{e}_b = \frac{1}{\sqrt{30}} \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -5 \\ 2 \end{array}\right)$

und kannst so den Einheitsvektor bestimmen

$\vec{e}_b = \left(\begin{array}{c} -\frac{1}{\sqrt{30}} \\ -\frac{5}{\sqrt{30}} \\ \frac{2}{\sqrt{30}} \end{array}\right)$

Wenn du mit dem Ergebnis unsicher bist, kannst du noch seinen Betrag bestimmen und überprüfen, ob $| \vec{e}_b | = 1$ herauskommt.

$| \vec{e}_b | = \sqrt{(-\frac{1}{\sqrt{30}})^2 + (-\frac{5}{\sqrt{30}})^2 + (\frac{4}{\sqrt{30}})^2} = 1$

Einheitsvektor — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was sind die drei Einheitsvektoren?

Die drei Einheitsvektoren in $\mathbb{R}^3$ sind die Standardrichtungen entlang der – – und -Achse. Du schreibst sie als $\vec e_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ , $\vec e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\vec e_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ . Jeder von ihnen hat die Länge 1.
Warum bleibt die Richtung gleich, wenn man einen Vektor durch seinen Betrag teilt?

Beim Teilen eines Vektors durch seinen Betrag bleibt die Richtung gleich, weil du alle Koordinaten mit derselben positiven Zahl multiplizierst. Dadurch wird der Vektor nur gestreckt oder gestaucht und er zeigt weiter auf derselben Linie. Zum Beispiel wird $\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ durch $|\vec v|=\sqrt{20}$ zu $\frac{1}{\sqrt{20}}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ .
Kommt beim Normieren genau derselbe Vektor zurück, wenn man einen Vektor mit der Länge 1 normiert?

Beim Normieren kommt genau derselbe Vektor zurück, wenn der Vektor schon die Länge 1 hat. Du rechnest nämlich $\vec e=\frac{1}{|\vec v|}\vec v$ und bei $|\vec v|=1$ ist das $\vec e=1\cdot\vec v=\vec v$ . Zum Beispiel bleibt $\begin{pmatrix}0{,}8\\-0{,}6\end{pmatrix}$ unverändert.