Einheitsvektor
Du möchtest wissen, was ein Einheitsvektor ist und wie du ihn berechnen kannst? Hier und im Video erfährst du es!
Inhaltsübersicht
Einheitsvektor einfach erklärt
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor der Länge 1.
Du machst aus einem normalen Vektor einen Einheitsvektor, indem du den Vektor durch seine Länge teilst.
Beispiel: Berechne den Einheitsvektor von .
- Berechne die Länge/den Betrag
des Vektors.
- Teile deinen Vektor durch die Länge.
Das ist doch gar nicht so schwer, oder? Schau dir gleich noch weitere Beispiele dafür an, wie du aus einem Vektor einen Einheitsvektor bestimmen kannst.
Einheitsvektor berechnen Beispiele
Beispiel in R2:
Betrachte als Beispiel den Vektor . Um diesen Vektor auf die Länge 1 zu bringen, brauchst du zuerst den Betrag des Vektors.
Jetzt teilst du deinen Vektor durch die Länge. Du rechnest also
Beispiel in R3:
Um den Vektor zu normieren, berechnest du erst den Betrag von .
Erst dann kannst du den Einheitsvektor bestimmen.
Länge eines Einheitsvektors überprüfen
Das Besondere am Einheitsvektor ist, dass die Länge des Vektors immer 1 beträgt.
Willst du also überprüfen, ob du den Einheitsvektor richtig berechnet hast, so musst du lediglich den Betrag des Vektors bestimmen.
Für einen Einheitsvektor gilt immer: .
Beispiel
Um zu überprüfen, ob zum Beispiel der Vektor normiert ist, also die Länge 1 hat, bestimmst du den Betrag von .
Da die Länge ungleich 1 ist, ist nicht normiert. Um den Einheitsvektor zu berechnen, teilst du einfach den Vektor durch seine Länge und erhältst
Nun kannst du noch prüfen, ob die Länge 1 hat.
Super, jetzt hast du als Ergebnis die 1 erhalten!
Einheitsvektor Anwendungsbeispiel
Wenn du von einem bestimmten Punkt aus eine Strecke in vorgegebener Richtung entlanglaufen willst, so verwendest du dafür den Einheitsvektor.
Betrachte zum Beispiel den Punkt . Angenommen du möchtest nun von A aus 9 Einheiten in Richtung gehen.
Um dein Zielpunkt P zu berechnen, musst du erst einmal normieren. Dafür berechnest du den Betrag des Vektors
und teilst dann durch seine Länge
Nun kannst du den Punkt P berechnen, indem du beim Punkt A startest und 9 mal in Richtung gehst.
Somit erhältst du den Punkt als Ergebnis.
Einheitsvektor Aufgaben
Im Folgenden geben wir dir zwei Aufgaben, womit du die Berechnung der Einheitsvektoren üben kannst.
Aufgabe 1: Einheitsvektoren überprüfen
Überprüfe, ob es sich bei den folgenden Vektoren um Einheitsvektoren handelt.
a)
b)
Lösung Aufgabe 1
a) Um zu überprüfen, ob normiert ist, berechnest du seinen Betrag.
Da seine Länge 1 beträgt, handelt es sich um einen Einheitsvektor.
b) Berechne zuerst den Betrag des Vektors.
Da der Betrag von ungleich 1 ist, ist der Vektor also nicht normiert.
Aufgabe 2: Einheitsvektoren berechnen
Bestimme von den folgenden Vektoren die Einheitsvektoren und überprüfe das Ergebnis auf Richtigkeit.
a)
b)
Lösung Aufgabe 2
a) Zuerst berechnest du den Betrag vom
und teilst dann den Vektor durch seine Länge
Damit kannst du den Einheitsvektor bestimmen
Zum Schluss kannst du noch den Betrag von überprüfen
Damit ist der Vektor normiert.
b) Auch hier berechnest du zuerst die Länge vom Vektor . Du rechnest also
Nun teilst du durch seine Länge
und kannst so den Einheitsvektor bestimmen
Wenn du mit dem Ergebnis unsicher bist, kannst du noch seinen Betrag bestimmen und überprüfen, ob herauskommt.
Weitere Themen der Vektorrechnung
Es gibt auch noch weitere wichtige Themen, die sich mit Vektoren beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:
- Vektor
- Linearkombination
- Winkel zwischen zwei Vektoren
- Skalarprodukt
- Spatprodukt
- Kreuzprodukt/Vektorprodukt
Um den Einheitsvektor zu berechnen, ist vor allem der Betrag eines Vektors von Bedeutung: