Determinante berechnen
In diesem Artikel zeigen wir dir, wie du von verschiedenen Matrizen die Determinante berechnen kannst. Du möchtest es anschaulich erklärt bekommen? Dann ist unser Video genau das Richtige für dich!
Inhaltsübersicht
Determinante berechnen einfach erklärt
Es gibt verschiedene Möglichkeiten die Determinante einer Matrix zu berechnen. Je nachdem wie groß die Matrix ist, ist eine Methode leichter als die andere.
In den folgenden Abschnitten zeigen wir dir, wann du welches Verfahren anwenden musst.
Hinweis: Für die Notation der Determinante einer Matrix A findest du die Schreibweisen oder .
Determinante berechnen 2×2
Fangen wir mit der Berechnung der Determinante von 2×2-Matrizen an.
Die Determinante einer 2×2 Matrix berechnest du, indem du die Komponenten der Matrix in die Formel
einsetzt. Das heißt, du berechnest zuerst das Produkt der Hauptdiagonale und ziehst dann das Produkt der Nebendiagonale ab.
Beispiel 1
Wenn du zum Beispiel die Matrix gegeben hast, dann lautet die Determinante
.
Du multiplizierst also zuerst die Elemente der Hauptdiagonale und ziehst dann das Produkt der Nebendiagonale ab. Schau dir das Video zur 2×2 Determinante an, um mehr Beispiele zu sehen.
Beispiel 1
Schau dir zum Beispiel die Matrix an. Du berechnest die Determinante wie folgt.
Um die Determinante der Matrix A zu berechnen setzt du also die Komponente in die Formel ein. Im Video zur 3×3 Determinante erfährst du mehr zur genauen Berechnung.
Laplace Entwicklungssatz
Hast du eine nxn Matrix gegeben, dann kannst du die Determinante berechnen, indem du den Laplaceschen Entwicklungssatz anwendest.
, wenn du nach der i-ten Zeile entwickelst.
, wenn du nach der j-ten Spalte entwickelst.
ist der Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte und die Matrix, die entsteht, wenn du die i-te Zeile und j-te Spalte der Matrix A streichst.
Determinante berechnen 4×4 Beispiel
Um die Determinante der 4×4 Matrix zu berechnen, verwenden wir den Laplaceschen Entwicklungssatz und entwickeln dabei nach der dritten Zeile . Die Determinante von A lautet also
Beachte, dass der erste und dritte Summand wegfallen, da sie jeweils eine 0 als Faktor enthalten. Schau dir unser Video zum Laplaceschen Entwicklungssatz an, wenn du genauer wissen möchtest, wie du ihn anwendest.
Determinante berechnen mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren
Hast du eine Matrix gegeben, die unterhalb der Hauptdiagonale nur Nullen enthält, dann ist die Determinante das Produkt der Elemente aus der Hauptdiagonale. Das heißt, du kannst die Determinante einer Matrix berechnen, indem du zuerst A mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens in eine obere Dreiecksmatrix transformierst und anschließend die Determinante von berechnest.