Determinante berechnen

Determinante berechnen einfach erklärt  

Es gibt verschiedene Möglichkeiten die Determinante einer Matrix zu berechnen. Je nachdem wie groß die Matrix ist, ist eine Methode leichter als die andere.

• Determinante 2×2 , 
• Regel von Sarrus ,
• Laplacescher Entwicklungssatz
• Gaußsches Eliminationsverfahren

In den folgenden Abschnitten zeigen wir dir, wann du welches Verfahren anwenden musst.

Hinweis: Für die Notation der Determinante einer Matrix A findest du die Schreibweisen oder .

Determinante berechnen 2×2  

Fangen wir mit der Berechnung der Determinante von 2×2-Matrizen an.

Die Determinante einer 2×2 Matrix berechnest du, indem du die Komponenten der Matrix in die Formel

einsetzt. Das heißt, du berechnest zuerst das Produkt der Hauptdiagonale und ziehst dann das Produkt der Nebendiagonale ab.

Beispiel 1

Wenn du zum Beispiel die Matrix gegeben hast, dann lautet die Determinante

.

Du multiplizierst also zuerst die Elemente der Hauptdiagonale und ziehst dann das Produkt der Nebendiagonale ab. Schau dir das Video zur 2×2 Determinante  an, um mehr Beispiele zu sehen.

Beispiel 2

Die Determinante eine 2×2 Matrix berechnest du wie folgt.

Noch mehr Beispiele findest du in unserem Video!

Determinante berechnen 3×3  

Gehen wir nun eine Dimension höher. Um die Determinante einer 3×3 Matrix zu bestimmen, verwendest du die Regel von Sarrus.

direkt ins Video springen

Beispiel 1

Schau dir zum Beispiel die Matrix an. Du berechnest die Determinante wie folgt.

Um die Determinante der Matrix A zu berechnen setzt du also die Komponente in die Formel ein. Im Video zur 3×3 Determinante  erfährst du mehr zur genauen Berechnung.

Beispiel 2

Die Determinante einer 3×3 Matrix berechnest du wie folgt

.

Du möchtest es ausführlich erklärt bekommen? Dann ist unser Video genau das richtige für dich!

Determinante berechnen nxn  

Nun schauen wir uns an, wie du von einer noch größeren Matrix die Determinante berechnen kannst.

Laplace Entwicklungssatz

Hast du eine nxn Matrix gegeben, dann kannst du die Determinante berechnen, indem du den Laplaceschen Entwicklungssatz anwendest.

, wenn du nach der i-ten Zeile entwickelst.

, wenn du nach der j-ten Spalte entwickelst.

ist der Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte und die Matrix, die entsteht, wenn du die i-te Zeile und j-te Spalte der Matrix A streichst.

Determinante berechnen 4×4 Beispiel

Um die Determinante der 4×4 Matrix zu berechnen, verwenden wir den Laplaceschen Entwicklungssatz und entwickeln dabei nach der dritten Zeile . Die Determinante von A lautet also

Beachte, dass der erste und dritte Summand wegfallen, da sie jeweils eine 0 als Faktor enthalten. Schau dir unser Video zum Laplaceschen Entwicklungssatz an, wenn du genauer wissen möchtest, wie du ihn anwendest.

Determinante berechnen mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren

Hast du eine Matrix gegeben, die unterhalb der Hauptdiagonale nur Nullen enthält, dann ist die Determinante das Produkt der Elemente aus der Hauptdiagonale. Das heißt, du kannst die Determinante einer Matrix berechnen, indem du zuerst A mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens in eine obere Dreiecksmatrix transformierst und anschließend die Determinante von  berechnest.