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Orthogonal Vektor

Wichtige Inhalte in diesem Video

Was sind orthogonale Vektoren?

Orthogonalität von Vektoren überprüfen

Orthogonalen Vektor bestimmen

Du hast zwei Vektoren gegeben und sollst überprüfen, ob sie orthogonal sind? Was orthogonale Vektoren sind und wie du sie berechnest, zeigen wir dir hier im Beitrag und im Video !

Inhaltsübersicht

Was sind orthogonale Vektoren?

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Orthogonale Vektoren sind Vektoren, die senkrecht zueinander stehen. Das bedeutet, sie bilden zusammen einen rechten Winkel. Daher auch der Begriff „orthogonal“, der aus dem Griechischen stammt und rechtwinklig bedeutet. Dabei ist das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren immer gleich Null:

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$\vec{a} \circ \vec{b} = 0$

Übrigens: Es kann auch vorkommen, dass zwei Vektoren gar keinen Winkel einschließen. In dem Fall sind sie parallel zueinander.

Orthogonalität von Vektoren überprüfen

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Mithilfe des Skalarproduktes berechnest du, ob zwei Vektoren orthogonal zueinander sind. Wie das geht, schauen wir uns jetzt an einem Beispiel an!

Du hast zwei Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right)$ und $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} -5 \\ 5 \\ -5 \end{array}\right)$ gegeben. Um nun die Vektoren auf Orthogonalität zu prüfen, gehst du wie folgt vor:

Als Erstes setzt du die Vektoren in die Formel des Skalarproduktes ein:
$\vec{a} \circ \vec{b} = 0 \rightarrow \left(\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} -5 \\ 5 \\ -5 \end{array}\right)$
Danach berechnest du aus beiden Vektoren das Skalarprodukt:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \textcolor{blue}{b_1} + \textcolor{magenta}{a_2} \cdot \textcolor{magenta}{b_2} + \textcolor{teal}{a_3} \cdot \textcolor{teal}{b_3}$

$\left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{6} \\ \textcolor{magenta}{2} \\ \textcolor{teal}{-4} \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{-5} \\ \textcolor{magenta}{5} \\ \textcolor{teal}{-5} \end{array}\right) = \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{blue}{(-5)} + \textcolor{magenta}{2} \cdot \textcolor{magenta}{5} + \textcolor{teal}{(-4)} \cdot \textcolor{teal}{(-5)}$
Im letzten Schritt berechnest du nur noch das Ergebnis der Gleichung:
6 • (-5) + 2 • 5 + (-4) • (-5) = 0
-30 + 10 + 20 = 0
0 = 0 ✓

Da das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich null ist, handelt es sich um zwei zueinander orthogonale Vektoren. Denn sie bilden zusammen einen rechten Winkel.

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Ist das Skalarprodukt der beiden Vektoren ungleich Null, bilden sie zusammen keinen rechten Winkel und sind nicht orthogonal. Das wäre zum Beispiel bei diesen Vektoren der Fall:

$\left(\begin{array}{c} 1,5 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) = 1,5 \cdot 4 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 6 + 2 + 2= 10 \neq 0$

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Orthogonalität

Nicht nur Vektoren, sondern auch Geraden und Flächen können zueinander orthogonal sein. Das kannst du wie folgt prüfen:

Zwei Geraden g und m sind orthogonal, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich Null ist: $\vec{u_g} \cdot \vec{u_m} = 0$
Zwei Ebenen E und H sind orthogonal, wenn das Skalarprodukt ihrer Normalenvektoren gleich Null ist: $\vec{n_E} \cdot \vec{n_H} = 0$
Eine Gerade g und eine Ebene E sind orthogonal, wenn der Normalenvektor der Ebene ein Vielfaches (x) des Richtungsvektors der Geraden ist: $x \cdot \vec{n_E} = \vec{u_g}$

Orthogonalen Vektor bestimmen

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Es kann aber auch vorkommen, dass du nur einen Vektor gegeben hast, zu dem du einen orthogonalen Vektor bestimmen sollst. Auch hier benötigst du das Skalarprodukt. Wie genau das funktioniert, zeigen wir dir jetzt:

Du hast den Vektor $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)$ gegeben und möchtest dazu einen orthogonalen Vektor $\vec{b}$ bestimmen.

Den Vektor setzt du auch hier wieder in die Formel vom Skalarprodukt ein:
$\left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{magenta}{1} \\ \textcolor{teal}{4} \end{array}\right) \cdot \vec{b} = 0$
Nun löst du die Formel für das Skalarprodukt auf. Für den Vektor $\vec{b}$ setzt du die Variablen ein und erhältst eine Gleichung:
$\textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{blue}{b_1} + \textcolor{magenta}{1} \cdot \textcolor{magenta}{b_2} + \textcolor{teal}{4} \cdot \textcolor{teal}{b_3} = 0$
Für zwei der Variablen kannst du jetzt beliebige Zahlen einsetzen. In unserem Beispiel setzen wir b₁ = 2 und b₂ = 6 ein. Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
3 • 2 + 1 • 6 + 4 • b₃ = 0

Wichtig: Du kannst beliebige Variablen wählen, außer den Vektor $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$ ! Damit ist zwar das Skalarprodukt gleich null, aber der Vektor besitzt keine Länge. Dadurch schließen die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ keinen rechten Winkel ein.
Diese Gleichung löst du nun nach b₃ auf:
3 • 2 + 1 • 6 + 4 • b₃ = 0
6 + 6 + 4 • b₃= 04 • b₃= -12
b₃ = -3

Nun hast du alle Werte für den zu $\vec{a}$ orthogonalen Vektor $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{magenta}{6} \\ \textcolor{teal}{ -3} \end{array}\right)$ .

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Tipp: Sollst du zu zwei Vektoren einen orthogonalen Vektor bestimmen, berechnest du das Kreuzprodukt der gegebenen Vektoren. Wie das geht, erklären wir dir hier!

Zwei orthogonale Vektoren

Zu jedem Vektor gibt es zahlreiche orthogonale Vektoren. Musst du jedoch nicht nur einen, sondern zwei orthogonale Vektoren angeben, kannst du einen Trick anwenden: Hast du zu einem gegebenen Vektor bereits einen orthogonalen Vektor berechnet, kannst du durch Verändern der Vorzeichen einen zweiten orthogonalen Vektor bestimmen: $\vec{b_1} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ -3 \end{array}\right) \rightarrow \vec{b_2} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ -6 \\ 3 \end{array}\right)$

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Sowohl Vektor $\vec{b_1}$ als auch Vektor $\vec{b_2}$ bilden mit Vektor $\vec{a}$ einen rechten Winkel.

Orthogonal Vektor — häufigste Fragen

Wann sind Vektoren orthogonal?
Zwei Vektoren sind zueinander orthogonal, wenn sie zusammen einen rechten Winkel bilden und ihr Skalarprodukt gleich Null ist: $\vec{a} \circ \vec{b} = 0$
Wie orthogonale Vektoren bestimmen?
Um einen orthogonalen Vektor zu bestimmen, setzt du einen gegebenen Vektor $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right)$ in die ausformulierte Formel für das Skalarprodukt ein: 2 • b₁ + 1 • b₂ + 3 • b₃= 0. Für b₁ und b₂ setzt du eine beliebige Zahl ein und löst die Gleichung nach b₃ auf. Dann hast du einen orthogonalen Vektor $\vec{b}$ zum Vektor $\vec{a}$ .

Quiz zum Thema Orthogonal Vektor

Winkel zwischen zwei Vektoren

Jetzt weißt du, dass zwei orthogonale Vektoren immer einen Winkel von 90° einschließen. Wie du beliebige Winkel zwischen zwei Vektoren berechnest, erklären wir dir hier!

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