Elektrotechnik Grundlagen

Cramersche Regel

Dieser Artikel beschäftigt sich mich dem Lösen von Gleichungssystem mit der Cramerschen Regel. Wir zeigen dir wie du sie richtig anwendest und demonstrieren sie dir an einem Beispiel aus der Elektrotechnik.

Schau für eine Zusammenfassung auch gerne in unser Video dazu rein.

Inhaltsübersicht

Cramersche Regel einfach erklärt 

Die Cramersche Regel ist ein Verfahren zur Bestimmung der Unbekannten eines linearen Gleichungssystems.

Ein lineares Gleichungssystem besteht allgemein aus einer Koeffizientenmatrix A, dem Variablenvektorx und dem Ergebnisvektor b.

Cramersche Regel, Matrix, Matrixgleichung
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Cramersche Regel, Matrixgleichung

Die Cramersche Regel lässt sich in drei Schritte unterteilen:

  1. Bestimmen der Determinante A der Matrix
  2. Ersetzen der i-ten Spalte der Matrix mit dem Ergebnisvektor  des Systems und Bestimmen der Determinanten A_i
  3. Division der Determinanten A_i durch die Determinante A zur Bestimmung der Unbekannten x_i

Anwendung der Cramerschen Regel 

Bei der Cramerschen Regel handelt es sich um ein systematisches Verfahren zum Lösen von Gleichungssystem, das mit Determinanten arbeitet. Eine weitere Möglichkeit ist das Gaußsche Eliminationsverfahren .

 

Berechnen der Determinanten A 

Um ein Gleichungssystem mit der Cramerschen Regel zu lösen, musst du zuerst die Determinanten der Matrix bestimmen. Beispielsweise haben wir in den Gleichungssystemen der Maschenstrom- und Knotenpotentialverfahren   eine 3×3 Matrix. Diese lässt sich mit der so genannten Regel von Sarrus, oder auch Zaunregel, berechnen.

Cramersche Regel
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Regel von Sarrus

Regel von Sarrus

Um die Regel von Sarrus anzuwenden, schreibst du am Besten die Matrix zwei Mal nebeneinander. Dann multiplizierst du alle Werte, die diagonal zueinander stehen. Die drei Terme, bei denen du oben startest, werden positiv und die Terme, bei denen du unten startest, negative berücksichtigt. So kannst du die Determinante A  berechnen.

Cramersche Regel, Regel von Sarrus, Matrix, Determinante, Ergebnisvektor
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Diagonale Multiplikation

det(A)= \left( + a \cdot e \cdot i + b \cdot f \cdot g + c\cdot d\cdot h - g \cdot e \cdot c - h \cdot f \cdot a - i \cdot d \cdot b \right)

Berechnen der Determinanten Ai

Zur Berechnung der Determinanten A_i ersetzt du in die i-te Spalte der Matrix A mit dem Ergebnisvektor b. Anschließlich bestimmst du die Determinante A_i dieser neuen Matrix. In diesem Fall erneut mit der Regel von Sarrus.

Cramersche Regel, Regel von Sarrus, Matrix, Determinante
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Einsetzen des Ergebisvektors in die Matrixgleichung

Berechnen der Unbekannten

Nachdem du jetzt deine Determinanten A_i, also A_1, A_2 und A_3, kannst du deine Unbekannten x_i über folgende Formel bestimmen.

x_i= \frac{det(A_i)}{det(A)}

Gleichungssysteme in der Schaltungsanalyse 

Wenn wir elektronische Schaltungen mit dem Maschenstrom– oder Knotenpunktpotentialverfahren analysieren, ergibt sich immer bei Gleichungssystemen aus n linearen Gleichungen mit n Unbekannten. Jedes System aus linearen Gleichungen lässt sich auch als Matrixgleichung schreiben.

Gleichungssystem mit der Cramerschen Regel lösen – Beispiel

Schauen wir uns das ganze mal an einem Beispiel für die Anwendung der Cramerschen Regel an. In unserem Beitrag zum Maschenstromverfahren kamen wir am Ende auf folgendes Gleichungssystem:

Cramersche Regel
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Gleichungssystem aus dem Beitrag zum Maschenstromverfahren

Gesucht sind die Maschenströme I_{m1}, I_{m2}, und I_{m3}. Alle Wiederstände sind gleich groß und haben den Wert 1 Ohm. Die Spannungsquelle U_{q0} hat 5 Volt und die Quelle U_{q0} liefert 20 Volt. Wenn wir die Werte einsetzen, sieht unser Gleichungssystem folgendermaßen aus:

Cramersche Regel
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Einsetzen der Werte

Zur besseren Übersicht, vernachlässigen wir im Folgenden die Einheiten.

Zuerst bestimmen wir die Determinante der Matrix A mit der Regel von Sarrus.

Cramersche Regel
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Berechnung der Determinante A

Im nächsten Schritt bilden wir die Matrix A_1, indem wir die erste Spalte der Matrix A durch den Ergebnisverktor ersetzen. Dann können wir mit Hilfe der Sarrus Regel auch die Determinante A_1 berechnen.

Cramersche Regel
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Berechnung der Determinante A1

det(A_1)=60

 

Die Matrix A_2 erhältst du, indem du die zweite Spalte von A ersetzt.

Cramersche Regel
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Berechnung der Determinante A2

det(A_2)=-100

Anschließend ersetzen wir noch die dritte Spalte mit dem Ergebnisvektor und berechnen die Determinante A_3.

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Berechnung der Determinante A3

det(A_3)=-40

Jetzt hast du alle Werte, die du brauchst um mit der Cramerschen Regel deine Unbekannten also die Maschenströme  zu berechnen:

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Berechnung der Maschenströme

I_{m1}=\frac{det(A_1)}{det(A)}=\frac{60}{16}=3,75A

I_{m2}=\frac{det(A_2)}{det(A)}=\frac{-100}{16}=-6,25A

I_{m3}=\frac{det(A_3)}{det(A)}=\frac{-40}{16}=-2,5A

An dieser Stelle ist es sinnvoll die Einheit A der Ströme wieder zu ergänzen.

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