Elektrotechnik Grundlagen

Cramersche Regel

Inhaltsübersicht

Dieser Artikel beschäftigt sich mich dem Lösen von Gleichungssystem mit der Cramerschen Regel. Wir zeigen dir wie du sie richtig anwendest und demonstrieren sie dir an einem Beispiel aus der Elektrotechnik.

Schau für eine Zusammenfassung auch gerne in unser Video dazu rein.

Cramersche Regel einfach erklärt

Die Cramersche Regel ist ein Verfahren zur Bestimmung der Unbekannten eines linearen Gleichungssystems.

Es lässt sich in drei Schritte unterteilen:

  • Bestimmen der Derminante A der Matrix
  • Ersetzen i-ten Spalte der Matrix mit dem Ergebnisvektor und Bestimmen der Determinanten A_i
  • Division der Determinanten A_i durch die Determinante A zur Bestimmung der Unbekannten x_i

Anwendung der Cramerschen Regel

Bei der Cramerschen Regel handelt es sich um ein systematisches Verfahren zum Lösen von Gleichungssystem, das mit Determinanten arbeitet. Eine weitere Möglichkeit ist das Gaußsche Eliminationsverfahren.

Cramersche Regel, Matrix, Matrixgleichung
Cramersche Regel, Matrixgleichung

 

Berechnen der Determinanten A

Um ein Gleichungssystem mit der Cramerschen Regel zu lösen, musst du zuerst die Determinanten der Matrix bestimmen. Beispielsweise haben wir in den Gleichungssystemen der Maschenstrom- und Knotenpotentialverfahren  eine 3×3 Matrix. Diese lässt sich mit der so genannten Regel von Sarrus, oder auch Zaunregel, berechnen.

Cramersche Regel
Regel von Sarrus

Regel von Sarrus

Um die Regel von Sarrus anzuwenden, schreibst du am Besten die Matrix zwei Mal nebeneinander. Dann multiplizierst du alle Werte, die diagonal zueinander stehen. Die drei Terme, bei denen du oben startest, sind immer positiv. Die Terme, bei denen du unten startest, sind immer negativ. So kannst du die Determinante A  berechnen.

 

Cramersche Regel, Regel von Sarrus, Matrix
Diagonale Multiplikation

det(A)= \left( + a \cdot e \cdot i + b \cdot f \cdot g + c\cdot d\cdot h - g \cdot e \cdot c - h \cdot f \cdot a - i \cdot d \cdot b \right)

Berechnen der Determinanten Ai

Zur Berechnung der Determinanten A_i ersetzt du in die i-te Spalte der Matrix A mit dem Ergebnisvektor b. Anschließlich bestimmst du die Determinante A_i dieser neuen Matrix. In diesem Fall erneut mit der Regel von Sarrus.

Cramersche Regel, Regel von Sarrus, Matrix
Einsetzen des Ergebisvektors in die Matrixgleichung

Berechnen der Unbekannten

Nachdem du jetzt deine Determinanten A_i, also A_1, A_2 und A_3, kannst du deine Unbekannten x_i über folgende Formel bestimmen.

x_i= \frac{det(A_i)}{det(A)}

Gleichungssysteme in der Schaltungsanalyse

Wenn wir elektronische Schaltungen mit dem Maschenstrom– oder Knotenpunktpotentialverfahren analysieren, landen wir am Ende immer bei Gleichungssystemen aus n linearen Gleichungen mit n Unbekannten. Jedes System aus linearen Gleichungen lässt sich auch als Matrixgleichung schreiben.

Gleichungssystem mit der Cramerschen Regel lösen – Beispiel

Schauen wir uns das ganze mal an einem Beispiel an. In unserem Beitrag zum Maschenstromverfahren kamen wir am Ende auf folgendes Gleichungssystem:

Cramersche Regel
Gleichungssystem aus dem Beitrag zum Maschenstromverfahren

Gesucht sind die Maschenströme I_{m1}, I_{m2}, und I_{m3}. Alle Wiederstände sind gleich groß und haben den Wert 1 Ohm. Die Spannungsquelle U_{q0} hat 5 Volt und die Quelle U_{q0} liefert 20 Volt. Wenn wir die Werte einsetzen, sieht unser Gleichungssystem so aus:

Cramersche Regel
Einsetzen der Werte

Um leichter weiterrechnen zu können, vernachlässigen wir im Folgenden die Einheiten.

Zuerst bestimmen wir die Determinante der Matrix A mit der Regel von Sarrus. Dann kommen wir auf 16.

Cramersche Regel
Berechnung der Determinante A

Im nächsten Schritt bilden wir die Matrix A_1, indem wir die erste Spalte der Matrix A durch den Vektor hinter dem Ist-Gleich ersetzen. Das sieht dann so aus.  Dann können wir mit Hilfe der Sarrus Regel auch die Determinante A_1 berechnen und kommen auf 60.

Cramersche Regel
Berechnung der Determinante A1

Die Matrix A_2 erhältst du, indem du die zweite Spalte von A ersetzt. Hier kommen wir dann auf -100.

Cramersche Regel
Berechnung der Determinante A2

Die Determinante von Matrix A_3 ist -40.

Cramersche Regel
Berechnung der Determinante A3

Jetzt hast du alle Zahlen, die du brauchst um mit der Cramerschen Regel deine Maschenströme zu berechnen:

Cramersche Regel
Berechnung der Maschenströme

I_{m1} ist gleich die Determinante A_1 durch die Determinante A ist gleich 3,75. I_{m2} berechnet sich zu -6,25 und I_{m3} ist -2.5. Da die anfangs in die Matrix eingesetzten Größen die Einheiten Ohm und Volt hatten, ist der Strom in der Einheit Ampere. Formal richtig wird das ganze also, wenn wir die Einheit Ampere dazuschreiben.


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