Video

Quiz

Hier geht's zum Video „Eigenwert“

Hier geht's zum Video „Determinante berechnen“

Hier geht's zum Video „Charakteristisches Polynom“

Hier geht's zum Video „Elektrolyse von Wasser“

Hier geht's zum Video „Inverse Matrix“

Matrix diagonalisieren

Wichtige Inhalte in diesem Video

Diagonalmatrix einfach erklärt

Wann ist eine Matrix diagonalisierbar?

Matrix diagonalisieren

Das Matrix Diagonalisieren vereinfacht viele Aufgaben, die Matrizen enthalten. Hier zeigen wir dir, wie du eine Matrix diagonalisieren kannst und wann eine Matrix diagonalisierbar ist. Schaue dir auch unser passendes Video an!

Inhaltsübersicht

Diagonalmatrix einfach erklärt

im Videozur Stelle im Video springen

Wenn du eine quadratische Matrix diagonalisierst, machst du aus einer nicht diagonalen Matrix eine Diagonal Matrix.

$\mathbf{A}={\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}} \longrightarrow \mathbf{D_A} = \begin{pmatrix} \textcolor{blue}{2} &0 &0 \\ 0 & \textcolor{blue}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \textcolor{blue}{4} \end{pmatrix}$

Definition Diagonalmatrix

Eine Diagonalmatrix ist eine besondere quadratische und symmetrische Matrix. Sie enthält Einträge ungleich 0 nur auf der Hauptdiagonalen. Alle anderen Matrixelemente sind gleich 0. Beispiele:

$\begin{pmatrix}\textcolor{blue}{4} & 0 \\ 0 & \textcolor{blue}{-3} \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}\textcolor{blue}{1} & 0 & 0 \\ 0 & \textcolor{blue}{4} & 0 \\ 0 & 0& \textcolor{blue}{0}\end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}\textcolor{blue}{-12} & 0 & 0 \\ 0 & \textcolor{blue}{-653} & 0 \\ 0 & 0& \textcolor{blue}{34}\end{pmatrix}$

Eine Diagonalmatrix hat einige praktische Eigenschaften:

die Determinante ist der Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen. (det(A) = det(D_A) = 2 • 3 • 4 = 24)
der Rang der Matrix ist gleich der Nichtnull-Zeilen. (rang(A) = 3)
die Eigenwerte sind die Einträge der Hauptdiagonalen mit den Einheitsvektoren als Eigenvektoren.

Das Matrix-Diagonalisieren erleichtert dir außerdem viele Rechenaufgaben:

Matrixmultiplikationen (Matrizenmultiplikation)
Skalarmultiplikation
Matrixaddition und Matrixsubtraktion
Inverse Matrix berechnen
Transponierte Matrix berechnen

Wann ist eine Matrix diagonalisierbar?

im Videozur Stelle im Video springen

Du kannst aber nicht jede Matrix diagonalisieren. Wie kannst du die Diagonalisierbarkeit einer Matrix prüfen?

Diagonalisierbarkeit prüfen

Eine $n\times n$ -Matrix ist diagonalisierbar, wenn

sie quadratisch ist,
ihr charakteristisches Polynom n Nullstellen hat und
die geometrische Vielfachheit und die algebraische Vielfachheit ihrer Eigenwerte gleich sind.

Was das genau bedeutet, schaust du dir am besten an zwei Beispielen an.

Beispiel 1: Charakteristisches Polynom finden

Du kannst deine n x n-Matrix diagonalisieren, wenn ihr charakteristisches Polynom $\chi$ genau n Nullstellen hat. Wie viele Nullstellen hat das charakteristisches Polynom der 3 x 3-Matrix M?

$\mathbf{M}=\textcolor{blue}{\begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -4 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$

Schritt 1: Als Erstes musst du das charakteristische Polynom berechnen. Dafür schreibst du die Variable $\textcolor{red}{-\lambda}$ in die Hauptdiagonale deiner Matrix. Anschließend musst du ihre Determinante berechnen .

$\begin{align*} \chi(\textcolor{red}{\lambda}) &= \textcolor{blue}{\begin{vmatrix} 2\textcolor{red}{-\lambda} & 4 & 0 \\ -4 & -1\textcolor{red}{-\lambda} & 0 \\ 0 & 0 & 1\textcolor{red}{-\lambda} \end{vmatrix}} \\ \chi(\textcolor{red}{\lambda})& = (\textcolor{blue}{2}\textcolor{red}{-\lambda}) \cdot (\textcolor{blue}{-1}\textcolor{red}{-\lambda}) \cdot (\textcolor{blue}{1}\textcolor{red}{-\lambda}) - \textcolor{blue}{4}\cdot (\textcolor{blue}{-4}) \cdot (\textcolor{blue}{1}\textcolor{red}{-\lambda}) \end{align*}$

Schritt 2: Um die Diagonalisierbarkeit prüfen zu können, musst du die Nullstellen von deinem charakteristischen Polynom finden. Diese Nullstellen nennst du auch Eigenwerte. Um die Eigenwerte berechnen zu können, zerlegst du das Polynom in Linearfaktoren. Als erstes klammerst du daher $(1-\lambda)$ aus.

$\chi(\textcolor{red}{\lambda}) =(\textcolor{blue}{1}\textcolor{red}{-\lambda}) \cdot [ (\textcolor{blue}{2}\textcolor{red}{-\lambda}) \cdot (\textcolor{blue}{-1}\textcolor{red}{-\lambda}) - \textcolor{blue}{4}\cdot (\textcolor{blue}{-4}) ]$

Danach multiplizierst du aus und fasst die Terme zusammen.

$\begin{align*} \chi(\lambda) &= (1-\lambda) \cdot (-2-2\lambda +\lambda +\lambda^2 +16 )\\ \chi(\lambda) &= (1-\lambda) \cdot ( \lambda^2 -\lambda+14 ) \end{align*}$

Das charakteristische Polynom hat also nur eine reelle Nullstelle bei 1. Die zweite Klammer $\lambda^2 -\lambda+14$ wird nie null.

Fazit: Die Matrix M hat 3 Reihen und Spalten, aber ihr charakteristisches Polynom hat nur 1 Nullstelle. Du hast also zu wenig Nullstellen und deine Matrix ist nicht diagonalisierbar.

Beispiel 2: Vielfältigkeit der Eigenwerte bestimmen

Ist diese Matrix diagonalisierbar?

$\mathbf{M}=\textcolor{blue}{\begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 4 & 7 & 9 \\ -3 & -4 & -5 \end{pmatrix}}$

Schritt 1: Finde das charakteristischen Polynom.

$\begin{align*} \chi(\textcolor{red}{\lambda}) &= \textcolor{blue}{\begin{vmatrix} 3\textcolor{red}{-\lambda} & 2 & 3 \\ 4 & 7\textcolor{red}{-\lambda} & 9 \\ -3 & -4 & -5\textcolor{red}{-\lambda} \end{vmatrix}}\;. \\ \chi(\textcolor{red}{\lambda}) &=\phantom{-} (\textcolor{blue}{3}\textcolor{red}{-\lambda})\cdot (\textcolor{blue}{7}\textcolor{red}{-\lambda}) \cdot (\textcolor{blue}{-5}\textcolor{red}{-\lambda}) + \textcolor{blue}{2}\cdot\textcolor{blue}{9}\cdot(\textcolor{blue}{-3}) + \textcolor{blue}{3}\cdot\textcolor{blue}{4}\cdot(\textcolor{blue}{-4}) \\ & \phantom{=}-(\textcolor{blue}{-3})\cdot(\textcolor{blue}{7}\textcolor{red}{-\lambda})\cdot\textcolor{blue}{3} -(\textcolor{blue}{-4})\cdot\textcolor{blue}{9}\cdot(\textcolor{blue}{3}\textcolor{red}{-\lambda}) -(\textcolor{blue}{-5}\textcolor{red}{-\lambda})\cdot\textcolor{blue}{4}\cdot\textcolor{blue}{2}\\ \end{align*}$

Schritt 2: Danach vereinfachst du die Terme und bekommst

$\chi(\lambda) = -(\lambda-2)^2\cdot (\lambda-1) .$

Hier sind die Nullstellen bei 2 (doppelt) und 1 (einfach). Damit hast du insgesamt drei Nullstellen des charakteristischen Polynoms, also drei Eigenwerte. Die erste Bedingung der Diagonalisierbarkeit einer Matrix ist erfüllt.

Wie sieht es mit der zweiten Bedingung aus? Die geometrische Vielfachheit der Eigenwerte muss gleich der algebraischen Vielfachheit der Eigenwerte sein.

Geometrische und Algebraische Vielfachheit

Die geometrische Vielfachheit ist gleich der algebraischen Vielfachheit,

wenn du einen einfachen Eigenwert hast und genau ein Eigenvektor dazu gehört,
wenn du einen quadratischen Eigenwert hast und genau zwei Eigenvektoren dazu gehören,
usw.

Schritt 3: Du musst also die Eigenvektoren berechnen . Du kannst für deine Eigenwerte folgende Eigenvektoren ausrechnen:

$\lambda_1 = 1 \longrightarrow v_1 = \begin{pmatrix}0\\-3\\2\end{pmatrix} \quad\text{und}\quad \lambda_2 = 2 \longrightarrow v_2 = \begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix} .$

Du hast für jeden Eigenwert einen Eigenvektor. Die entsprechenden Eigenräume haben also eine geometrische Vielfachheit von 1. Dein zweiter Eigenwert ( $\lambda_2=2$ ) ist aber eine doppelte Nullstelle. Er hat also eine algebraische Vielfachheit von 2.

Fazit: Die geometrische Vielfachheit ist ungleich der algebraischen Vielfachheit. Deine Matrix ist nicht diagonalisierbar.

Matrix diagonalisieren

im Videozur Stelle im Video springen

Das Matrixdiagonalisieren funktioniert ähnlich wie die Diagonalisierbarkeit zu prüfen.

Diagonalisierung berechnen

Um eine Matrix zu diagonalisieren,

berechnest du die Eigenwerte,
ihre Eigenvektoren, um die Diagonalisierbarkeit zu prüfen, und
stellst die Diagonalmatrix auf.

Schauen wir uns jetzt an zwei Beispielen an, wie du mit deinen Eigenwerten die Diagonalmatrix berechnen kannst.

Beispiele

Wie lautet die Diagonalmatrix der diagonalisierbaren Matrix A?

$\mathbf{A}=\textcolor{blue}{\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}}$

Schritt 1: Finde das charakteristische Polynom $\chi_{\mathbf{A}}(\lambda)$ !

$\begin{align*} \chi_{\mathbf{A}}(\textcolor{red}{\lambda})&= \textcolor{blue}{\begin{vmatrix} 2\textcolor{red}{-\lambda} & 1 & 1 \\ 0 & 3\textcolor{red}{-\lambda} & 0 \\ 0 & 2 & 4\textcolor{red}{-\lambda} \end{vmatrix}} \\ \chi_{\mathbf{A}}(\textcolor{red}{\lambda}) &= (\textcolor{blue}{2}\textcolor{red}{-\lambda})\cdot (\textcolor{blue}{3}\textcolor{red}{-\lambda})\cdot (\textcolor{blue}{4}\textcolor{red}{-\lambda}) \end{align*}$

Hier kannst du die Eigenwerte direkt ablesen:

$\lambda_1 = 2 \text{, }\lambda_2 = 3 \text{ und } \lambda_3 = 4 .$

Schritt 2: Jetzt müsstest du die Diagonalisierbarkeit prüfen. Die Aufgabenstellung sagt dir allerdings schon, dass die Matrix diagonalisierbar ist.

Schritt 3: Zuletzt musst du mit deinen Eigenwerten die Diagonalmatrix D_Aschreiben. Dafür schreibst du deine Eigenwerte auf die Hauptdiagonale einer Matrix. In welcher Reihenfolge du die Eigenwerte in deine Diagonalmatrix schreibst, ist egal. Eine mögliche Diagonalisierung ist

$\mathbf{D_A} = \begin{pmatrix} \textcolor{red}{\lambda_1} &0 &0 \\ 0 & \textcolor{red}{\lambda_2} & 0 \\ 0 & 0 & \textcolor{red}{\lambda_3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \textcolor{red}{2} &0 &0 \\ 0 & \textcolor{red}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \textcolor{red}{4} \end{pmatrix} .$

Geschafft! Wie wäre es mit einem zweiten Beispiel?

Beispiel 2: Wie lautet die Diagonalmatrix der diagonalisierbaren Matrix B?

$\mathbf{B}=\textcolor{blue}{\begin{pmatrix} 3 & 2 & -2 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}$

Schritt 1: Finde das charakteristische Polynom $\chi_{\mathbf{B}}(\lambda)$ !

$\begin{gather*} \chi_{\mathbf{B}}(\textcolor{red}{\lambda}) =\textcolor{blue}{\begin{vmatrix} 3\textcolor{red}{-\lambda} & 2 & -2 \\ -1 & 0\textcolor{red}{-\lambda} & 2 \\ 0 & 0 & -1\textcolor{red}{-\lambda} \end{vmatrix}} \\ \chi_{\mathbf{B}}(\textcolor{red}{\lambda}) = (\textcolor{blue}{3}\textcolor{red}{-\lambda})\cdot (\textcolor{blue}{0}\textcolor{red}{-\lambda})\cdot (\textcolor{blue}{-1}\textcolor{red}{-\lambda}) -(\textcolor{blue}{-1}\textcolor{red}{-\lambda})\cdot (\textcolor{blue}{-1})\cdot \textcolor{blue}{2} \end{gather*}$

Du kannst $(-1-\lambda)$ ausklammern und den Rest zusammenfassen. Dann bekommst du das charakteristische Polynom

$\chi_{\mathbf{B}}(\lambda) = (-1-\lambda) \cdot (\lambda^2 -3\lambda + 2) .$

Hier kannst du den ersten Eigenwert ablesen und die anderen beiden mit der pq-Formel berechnen:

$\lambda_1 = -1 \text{, }\lambda_2 = 1 \text{ und } \lambda_3 = 2 .$

Schritt 2: Jetzt müsstest du die Diagonalisierbarkeit prüfen. Die Aufgabenstellung sagt dir allerdings schon, dass die Matrix diagonalisierbar ist.

Schritt 3: Zuletzt musst du mit deinen Eigenwerten die Diagonalmatrix D_Bschreiben:

$\mathbf{D_B} = \begin{pmatrix} \lambda_1 &0&0\\ 0&\lambda_2&0\\ 0&0&\lambda_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 &0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix} .$

Quiz zum Thema Matrix diagonalisieren

Inverse Matrix

Von einer Diagonalmatrix lässt sich ganz einfach eine inverse Matrix finden. Wenn du deine Diagonalmatrix mit ihrer inversen Matrix multiplizierst, bekommst du die Einheitsmatrix . Schaue dir am besten unser Video dazu an!

$\textcolor{red}{ \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{pmatrix} } \cdot \textcolor{blue}{ \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{-1} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{6}\end{pmatrix} } = \textcolor{olive}{ \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} }$

Zum Video: Inverse Matrix berechnen

zur Videoseite: Matrix diagonalisieren

Beliebte Inhalte aus dem Bereich Lineare Algebra

Matrizenrechnung

Matrizen addieren

Matrizen multiplizieren

Matrix mal Vektor

Matrix diagonalisieren

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte .