Linearkombination
In diesem Artikel erklären wir dir anhand verschiedener Beispiele, was eine Linearkombination ist und wie du sie berechnest. Du möchtest in kürzester Zeit wissen was eine Linearkombination ist? Dann schau dir unser Video dazu an.
Inhaltsübersicht
Linearkombination einfach erklärt
Wenn du einen Vektor mit einer Zahl multiplizierst und dann mit einem anderen Vektor addierst, so erhältst du einen weiteren Vektor. Diesen Vorgang kannst du beliebig oft wiederholen. Dabei nennt man diese Summe von Vektoren Linearkombination.
Jeden Vektor der Form
nennt man Linearkombination der Vektoren bis . Wobei bis reelle Zahlen sind.
Linearkombination berechnen
Hast du einen Vektor gegeben, dann lassen sich die Parameter bis so bestimmen, dass sich als Linearkombination von den gegebenen Vektoren bis darstellen lässt.
Damit kannst du das folgende lineare Gleichungssystem aufstellen
Löst du nun dieses Gleichungssystem, so erhältst du die Werte bis .
Beispiel
Betrachten wir ein Beispiel. Angenommen du hast die Vektoren , und gegeben, und sollst die Parameter und bestimmen, sodass sich als Linearkombination der drei Vektoren und darstellen lässt. Du sollst also und der folgenden Gleichung bestimmen
Das formst du nun in ein lineares Gleichungssystem um und löst es
(I)
(II)
(III)
Aus (II) siehst du direkt, dass gelten muss. Einsetzen in (I) liefert dir . und in (III) einsetzen und du bekommst . Somit lässt sich also wie folgt als Linearkombination darstellen:
Lineare Unabhängigkeit von Vektoren
Vektoren bis sind genau dann linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur als Linearkombination der bis darstellen lässt, wenn ist.
Wenn du mehr über lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit von Vektoren erfahren willst, so schau dir unseren Artikel zu diesem Thema an.
Beispiel
Betrachte als Beispiel die Vektoren , und
Zuerst stellst du das lineare Gleichungssystem auf
(I)
(II)
(III)
Löst du es, dann siehst du, dass aus (II) folgt , eingesetzt in (III) ergibt und dann folgt aus (I) . Damit sind die Vektoren , und linear unabhängig.
Linearkombination Spann
Sind die Vektoren bis gegeben, so ist der Spann dieser Vektoren, definiert als
.
Der Spann ist also die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren bis . Das heißt, ist ein Vektor , so existieren bis , sodass
Beispiel
Nimmst du zum Beispiel die beiden Vektoren und , so lassen sich alle Vektoren im als Linearkombination von und darstellen. Also gilt für den Spann
Linearkombination Spezialfälle
Im folgenden Abschnitt nennen wir dir spezielle Linearkombinationen, die davon abhängen, wie du die Koeffizienten wählst.
Konische Kombinationen
Hast du eine Linearkombination gegeben, bei dem die Koeffizienten nur größer oder gleich 0 sind, so heißt die Linearkombination konische Linearkombination.
Graphisch veranschaulicht liegen alle konischen Linearkombinationen zwischen den Vektoren bis (blaue Fläche im Bild).
Affinkombinationen
Sind die Parameter einer Linearkombination so gewählt, dass die Summe der gleich 1 ergibt, so wird diese Linearkombination Affinkombination genannt.
Konvexkombinationen
Konvexkombinationen sind Linearkombinationen, bei denen die Parameter zwischen 0 und 1 liegen und deren Summe gleich 1 ergibt.
Wenn du dir das Ganze im veranschaulichst, so liegen alle Konvexkombinationen der Vektoren und auf der Strecke c, die von den beiden Vektoren und erzeugt wird.
Weitere Themen der Vektorrechnung
Neben der Linearkombination gibt es noch weitere Themen, die sich mit Vektoren beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:
Linearkombination Aufgaben
Im Folgenden zeigen wir dir zwei Aufgaben mit Lösungen, mit denen du das Berechnen von Linearkombinationen üben kannst.
Aufgabe 1: Linearkombination Vektoren
Du hast die Vektoren , und gegeben.
Bestimme die Linearkombination des Vektors durch die Vektoren , und .
Lösung Aufgabe 1
Du suchst also die Werte , und , sodass
Dabei erhältst du folgendes lineare Gleichungssystem
(I)
(II)
(III)
Wenn du dir das Ganze nun in einer Matrix aufschreibst,
kannst du diese mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren in die Matrix
umformen. Dabei ergibt sich in der dritten Zeile eine Nullzeile. Das heißt, du kannst für jeden beliebigen Wert wählen, etwa . Dementsprechend erhältst du dann und .
Also lässt sich der Vektor durch die folgende Linearkombination darstellen
Aufgabe 2: Linearkombination Vektoren
Bestimme die Linearkombination des Vektors durch die Vektoren , und .
Lösung Aufgabe 2
Du suchst also die Werte , und , sodass
Dabei erhältst du folgendes lineare Gleichungssystem
(I)
(II)
(III)
Erstelle zuerst die Matrix
und forme diese dann mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens in die Matrix
um. Damit erhältst du dann sofort die Werte
, und
Also lässt sich der Vektor durch die folgende Linearkombination darstellen