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Was ist der Betrag eines Vektors und wie berechnest du ihn? Das erklären wir dir hier im Beitrag und im Video!

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Inhaltsübersicht

Was ist der Betrag eines Vektors?

Der Betrag eines Vektors ist seine Länge. Du schreibst ihn mit zwei senkrechten Strichen: |\vec{v}|.

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Der Betrag eines Vektors

Ein Vektor mit dem Betrag \vec{v} = |5| bedeutet zum Beispiel, dass der Vektor 5 Einheiten lang ist.

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Formel & Berechnung für den Betrag eines Vektors

Den Betrag eines Vektors berechnest du immer nach dem gleichen Prinzip — egal, ob du im zweidimensionalen oder im dreidimensionalen Raum bist.

Zweidimensional:
Im zweidimensionalen Raum haben Vektoren zwei Komponenten \vec{v} = \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array}\right). Die Formel zur Berechnung des Betrags sieht daher aus: |\vec{v}| = \sqrt{v_1^{2} + v_2^{2}}

Du quadrierst also die zwei Komponenten des Vektors, addierst ihre Ergebnisse und ziehst dann die Wurzel.

Dreidimensional:
Bei einem Vektor im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Komponente hinzu \vec{v} = \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right). Die Formel lautet dann: |\vec{v}| = \sqrt{v_1^{2} + v_2^{2} + v_3^{2}}

Hier quadrierst und addierst du nun drei Komponenten und ziehst dann wieder die Wurzel.

Beispiel für den Betrag eines Vektors im zweidimensionalen Raum

Gegeben ist der Vektor \vec{a} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{magenta}{5} \\ \textcolor{teal}{12} \end{array}\right). Um den Betrag des Vektors zu berechnen, gehst du so vor:

  1. Werte in die Formel einsetzen:
    |\vec{v}| = \sqrt{v_1^{2} + v_2^{2}}
    |\vec{v}| = \sqrt{\textcolor{magenta}{5}^{2} + \textcolor{teal}{12}^{2}}

  2. Komponenten quadrieren:
    5² = 25
    12² = 144

  3. Ergebnisse addieren:
    25 + 144 = 169

  4. Wurzel ziehen:
    \sqrt{169} = 13

Der Betrag des Vektors \vec{a} ist also 13.

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Beispiel für den Betrag eines Vektors im dreidimensionalen Raum

Du hast den Vektor \vec{b} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{magenta}{-2} \\ \textcolor{teal}{3} \\ \textcolor{purple}{-6} \end{array}\right). Hier rechnest du so:

  1. Werte in die Formel einsetzen:
    |\vec{v}| = \sqrt{v_1^{2} + v_2^{2} + v_3^{2}}
    |\vec{b}| = \sqrt{(\textcolor{magenta}{-2})^2 + \textcolor{teal}{3}^2 + (\textcolor{purple}{-6})^2}

  2. Komponenten quadrieren:
    -2² = 4
    3² = 9
    -6² = 36

  3. Ergebnisse addieren:
    4 + 9 + 36 = 49

  4. Wurzel ziehen:
    \sqrt{49} = 7

Der Vektor b \vec{b} ist also 7 Einheiten lang.

Betrag eines Vektors & Einheitsvektor

Den Betrag eines Vektors brauchst du, um den Einheitsvektor zu berechnen. Das ist ein Vektor mit der Länge 1. Einen normalen Vektor \vec{v} verwandelst du in einen Einheitsvektor \vec{e_v}, indem du ihn durch seinen Betrag dividierst: \vec{e}_v = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}.

Achtung: Besonderheiten beim Betrag

Beim Betrag von Vektoren musst du ein paar Sachen beachten. Sie haben nämlich bestimmte Eigenschaften:

1. Der Betrag ist nie negativ
Egal, welche Zahlen dein Vektor enthält — der Betrag ist immer positiv oder null. Das liegt daran, dass du beim Rechnen jede Komponente quadrierst. Und Quadrate sind nie negativ.

2. Der Betrag des Nullvektors ist null
Ein Nullvektor ist ein Vektor mit nur Nullen, also z. B. v = (0, 0). Er liegt also auf einem Punkt — sein Betrag bzw. seine Länge ist daher null.

3. Ein Vektor und sein Gegenvektor haben denselben Betrag
Der Gegenvektor vom Vektor v = (6, -2) ist zum Beispiel -v = (-6, 2). Beide haben die gleiche Länge. Das Minus verändert nur die Richtung — nicht den Betrag.

4. Die Summe zweier Vektoren hat meist einen anderen Betrag
Wenn du zwei Vektoren addierst, bekommst du einen neuen Vektor. Sein Betrag kann kleiner oder gleich sein — aber nie größer als die Summe der beiden Einzelbeträge.

5. Bei der Multiplikation mit einer Zahl verändert sich der Betrag
Multiplizierst du einen Vektor mit einer Zahl k, wird auch der Betrag verändert. Du kannst dabei zuerst den Betrag des Vektors berechnen und dann mit der Zahl k multiplizieren. Oder du multiplizierst erst den Vektor mit k und berechnest dann den Betrag. Beides führt zum gleichen Ergebnis:
|k · v| = |k| · |v|

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So geht die Herleitung der Formel für den Betrag

Du weißt jetzt, wie du den Betrag eines Vektors berechnest. Die Anwendung fällt dir noch leichter, wenn du verstehst, warum die Formel so aussieht. Die Herleitung zeigt dir, dass hinter der Formel eine andere bekannte Formel steckt.

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Herleitung der Formel

Nimm den Vektor v = (6, 4) im zweidimensionalen Raum. Er zeigt an, dass der Startpunkt um 6 Einheiten nach rechts (x-Richtung) und 4 Einheiten nach oben (y-Richtung) verschoben wurde. Du siehst: Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Und in einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras:

a² + b² = c²

Dabei sind beiden „Verschiebungen“ 6 und 8 die Seiten a und b. Der Vektor selbst ist die Seite c. Um die Seite c zu berechnen, stellst du den Satz des Pythagoras nach c um:

c = \sqrt{a^2 + b^2} 

Und das ist die Formel, die du schon von der Berechnung des Betrags kennst:

    \[|\vec{v}| = \sqrt{v_1^{2} + v_2^{2}}$\]

Im dreidimensionalen Raum funktioniert das genauso. Du hast nur eine weitere Komponente:

    \[|\vec{v}| = \sqrt{v_1^{2} + v_2^{2} + v_3^{2}}\]

Betrag eines Vektors — häufigste Fragen

  • Was ist der Betrag eines Vektors?
    Der Betrag eines Vektors ist seine Länge. Er gibt die Größe des Vektors an, unabhängig von seiner Richtung.
  • Wie berechne ich den Betrag eines Vektors?
    Um den Betrag eines Vektors zu berechnen, quadriere jede Komponente, addiere die Ergebnisse und ziehe die Quadratwurzel aus der Summe. Im zweidimensionalen Raum ist die Formel für den Betrag √(v₁² + v₂²) und im dreidimensionalen ist es √(v₁² + v₂² + v₃²).
  • Was ist ein Beispiel für die Berechnung des Betrags eines Vektors?
    Der Betrag eines Vektors im Raum ist die Wurzel der Summe der Quadrate seiner Komponenten. Beispielsweise ist der Betrag des Vektors v = (3, 4): |v| = √(3² + 4²) = 5.
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Skalarprodukt

Du kannst den Betrag eines Vektors auch mithilfe des Skalarprodukts berechnen. Was es genau mit dem Skalarprodukt auf sich hat, erfährst du in unserem Video!

Zum Video: Skalarprodukt
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Weitere Inhalte: Lineare Algebra

Grundlagen Vektoren

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