Spatprodukt
In diesem Artikel erklären wir dir, was das Spatprodukt ist und wie du es berechnest. Du möchtest das Thema in kürzester Zeit verstehen? Dann schau dir unser Video dazu an.
Inhaltsübersicht
Spatprodukt einfach erklärt
Mit dem Spatprodukt kannst du das Volumen berechnen, das von drei Vektoren eingespannt wird. Den Körper, den die drei Vektoren einspannen, nennt man Spat.
Das Spatprodukt der drei Vektoren , und berechnest du mit
- oder mit
- der Determinante .
Beispiel: Betrachte die Vektoren , und , dann erhältst du
oder .
Hinweis: Mit dem Skalarprodukt kannst du die Fläche berechnen, die von zwei Vektoren eingespannt wird.
Spatprodukt berechnen
Das Spatprodukt von drei Vektoren , und berechnest du mit der Formel .
Dabei bezeichnest du mit das Kreuzprodukt der beiden Vektoren und das Malzeichen stellt das Skalarprodukt zweier Vektoren dar.
Spatprodukt Beispiel
Betrachte zum Beispiel die Vektoren , und . Zuerst benötigst du das Kreuzprodukt der beiden Vektoren und
Danach berechnest du dann das Skalarprodukt von diesem Vektor mit dem Vektor
Der Betrag des Spatprodukts ist dann das Volumen des Spats.
Ein Spat ist ein geometrischer Körper , der sechs Parallelogramme als Seitenflächen hat. Diese Parallelogramme sind deckungsgleich (paarweise kongruent). An sich ist ein Spat also nichts anderes als ein Quader, der statt Rechtecken Parallelogramme als Seitenflächen besitzt. Der Spat wird auch Parallelepiped genannt.
Beispiel
Für die Vektoren , und lässt sich das Spatprodukt dadurch berechnen, in dem du die einzelnen Vektoren in eine Matrix schreibst und dann die Determinante berechnest
Wir haben dabei die Regel von Sarrus verwendet.
Weitere Themen der Vektorrechnung
Neben dem Spatprodukt gibt es noch weitere Themen, die sich mit Vektoren beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:
Spatprodukt Aufgaben
Im folgenden Abschnitt geben wir dir zwei Aufgaben mit Lösungen, um das Berechnen des Spatprodukts zu üben.
Aufgabe 1: Spatprodukt berechnen
Berechne das Spatprodukt der drei Vektoren , und .
Lösung Aufgabe 1
Berechne zuerst das Kreuzprodukt der beiden Vektoren und
Setzt du das in die Formel des Spatprodukts ein, dann erhältst du
Aufgabe 2: Spatprodukt Volumen
Berechne das Volumen des Spats, das durch die drei Vektoren , und aufgespannt wird.
Lösung Aufgabe 2
Das Volumen des Spats berechnest du mit der Formel , wofür du also das Spatprodukt der drei Vektoren , und benötigst. Das heißt, du berechnest zuerst das Kreuzprodukt von und
Für das Spatprodukt bekommst du damit
.
Um das Volumen des Spats zu bestimmen, musst du noch den Betrag des Spatpodukts berechnen
.
Der Spat hat also ein Volumen von 34.