Laplacescher Entwicklungssatz
Der Laplacesche Entwicklungssatz hilft dir, Determinanten zu berechnen. Du möchtest schnell verstehen, wie das funktioniert? Dann schau dir unser Video dazu an!
Inhaltsübersicht
Laplacescher Entwicklungssatz einfach erklärt
Der Laplacesche Entwicklungssatz (auch Laplace Entwicklung, Laplacesche Entwicklung) ist ein Verfahren mit dem du die Determinante einer nxn Matrix berechnen kannst. Die Idee dabei ist, dass du die Determinante einer Matrix auf eine kleinere Determinante bringst. Damit kannst du zum Beispiel eine 4×4 Matrix zunächst auf eine 3×3 Matrix umformen und dann auf eine 2×2 Matrix. Anschließend kannst du dann von dieser Matrix einfach die Determinante berechnen.
, wenn du nach der i-ten Zeile entwickelst oder
, wenn du nach der j-ten Spalte entwickelst.
Dabei ist der Wert der i-ten Zeile und j-ten Spalte und die Matrix, die durch das Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte der Matrix A entsteht.
Tipp: Wähle für den Laplace Entwicklungssatz am besten eine Zeile oder eine Spalte, in der sich möglichst viele Nullen befinden, sodass die entsprechenden Summanden automatisch wegfallen.
Laplacescher Entwicklungssatz Beispiel
In diesem Abschnitt zeigen wir dir an einem konkreten Beispiel, wie du den Laplaceschen Entwicklungssatz anwendest.
Betrachte dafür die 3×3 Matrix . Dabei spielt es keine Rolle nach welcher Zeile oder Spalte du die Determinante entwickelst. In diesem Beispiel wählen wir die erste Zeile . Die Determinante von A lautet also
Das bedeutet, dass du nun Spalte für Spalte die einzelnen Summanden der Formel bestimmst.
Spalte 1: Fange mit der ersten Spalte an. Dafür benötigst du die Untermatrix , die du bekommst, indem du die erste Zeile und die erste Spalte von A streichst
Die Matrix lautet also
.
Als nächstes benötigst du die Determinante der 2×2 Matrix . Du berechnest die Determinante, indem du vom Produkt das Produkt abziehst
.
Außerdem kannst du aus der Matrix A ablesen, dass ist. Damit erhältst du für den ersten Summanden
Spalte 2: Gehe nun über zur zweiten Spalte. Um die Untermatrix zu bekommen streichst du die erste Zeile und die zweite Spalte von A
Du erhältst damit
.
Berechne nun die Determinante der Matrix
.
Der zweite Summand lautet mit also
.
Spalte 3: Wiederhole das Ganze noch für die dritte Spalte. Du erhältst die Untermatrix durch das Streichen der ersten Zeile und der dritten Spalte.
Sie lautet somit
.
Berechne nun wieder die Determinante der Matrix
.
Damit hast du nun den dritten Summanden der Formel des Laplaceschen Entwicklungssatzes bestimmt
.
Insgesamt lautet die Determinante der Matrix A also
.
Bemerkung: Um das Vorzeichen einfacher zu bestimmen, kannst du dir auch einfach merken, dass bei jedem Wechsel einer Zeile oder Spalte, sich auch das Vorzeichen ändert.
Matrix nach einer Spalte entwickeln
Schau dir als nächstes Beispiel die Matrix an. Diesmal entwickeln wir die Determinante nach der zweiten Spalte, womit die Determinante von A wie folgt lautet:
Du bestimmst also als erstes die Untermatrizen , und , indem du die zweite Spalte und die entsprechende Zeile streichst. Die Untermatrizen sehen somit wie folgt aus
.
Als nächstes benötigst du die Determinante der Untermatrizen
Somit kannst du nun die Determinante der Matrix A berechnen
Laplacescher Entwicklungssatz 4×4 Matrix
Bisher hast du den Laplace Entwicklungssatz nur auf 3×3 Matrizen angewendet. Du kannst die Laplace Entwicklung allerdings auch auf größere Matrizen anwenden, wie etwa 4×4 Matrizen.
Betrachte zum Beispiel die Matrix , deren Determinante wir nach der vierten Spalte entwickeln.
Zunächst benötigst du die Untermatrizen , , und , für die du die vierte Spalte und die entsprechende Zeile der Matrix A streichst. Die Untermatrizen lauten somit
, , ,
Um die Determinanten der Untermatrizen zu berechen kannst du wieder den Laplace Entwicklungssatz anwenden oder du verwendest die Regel von Sarrus, deren Vorgehensweise du im Artikel zur 3×3 Determinante nachlesen kannst. Damit bekommst du
Zum Schluss kannst du nun die Determinante der Matrix A berechnen
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