Winkel zwischen zwei Vektoren
Du hast zwei Vektoren gegeben und sollst jetzt den dazwischen liegenden Winkel berechnen? Dann bist du hier genau richtig. Schau unser Video dazu an, dort erklären wir es dir anschaulich!
Inhaltsübersicht
Winkel zwischen Vektoren einfach erklärt
Wenn du zwei Vektoren im Koordinatensystem betrachtest, so findest du zwischen den beiden Vektoren einen Winkel, den du ausrechnen kannst. Für die Berechnung benötigst du folgende Formel
Sind und zwei Vektoren, so gilt für den Winkel
Wobei im Zähler das Skalarprodukt der beiden Vektoren steht und im Nenner das Produkt der beiden Längen der Vektoren.
Bei der Betrachtung zweier Vektoren, findest du immer zwei Winkel, einen inneren und einen äußeren . Da die inverse Cosinusfunktion den Wertebereich hat, tauchen nur Winkel zwischen 0° und 180° auf. Daher berechnest du immer automatisch den kleineren Winkel .
Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen
Im Folgenden zeigen wir dir, wie du den Winkel zwischen den Vektoren und berechnen kannst.
Schritt 1: Berechne das Skalarprodukt .
Erinnerung: Skalarprodukt zweier Vektoren
Das Skalarprodukt von zwei Vektoren ist wie folgt definiert:
Schritt 2: Berechne die Längen und .
Erinnerung: Länge eines Vektors
Die Länge eines Vektors lässt sich wie folgt berechnen:
.
Schritt 3: Setze die Werte in die Formel ein.
Schritt 4: Forme die Formel nach um
Beispiel im
Wir zeigen dir jetzt an einem konkreten Beispiel, wie du den Winkel zwischen zwei Vektoren mit der oberen Schritt für Schritt Anleitung berechnest. Betrachte dafür die zwei Vektoren und
Schritt 1: Zuerst berechnest du das Skalarprodukt
Schritt 2: Nun brauchst du die Längen der beiden Vektoren. Du rechnest also
Schritt 3: Somit kannst du jetzt die in Schritt 2 und 3 berechneten Werte in die Formel einsetzen
Schritt 4: Zum Schluss formst du die Gleichung nun nach um und erhältst mit
den Winkel zwischen den beiden Vektoren.
Beispiel im
Nun folgt ein weiteres Beispiel mit Vektoren aus dem . Betrachte dafür die Vektoren und
Schritt 1: Zuerst benötigst du das Skalarprodukt. Du rechnest also
Schritt 2: Nun berechnest du die Längen der beiden Vektoren
Schritt 3: Somit kannst du jetzt die in Schritt 2 und 3 berechneten Werte in die Formel einsetzen
Schritt 4: Zum Schluss formst du die Gleichung nun nach um und erhältst mit
den Winkel zwischen den zwei Vektoren.
Weitere Themen der Vektorrechnung
Neben dem Winkel zwischen zwei Vektoren gibt es noch weitere Themen, die sich mit Vektoren beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:
Winkel zwischen zwei Vektoren Aufgaben
In diesem Abschnitt geben wir dir zwei Aufgaben mit Lösungen, in welchen du den Winkel zwischen Vektoren berechnen sollst.
Aufgabe 1: Vektoren mit 2 Komponenten
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren und .
Lösung Aufgabe 1
Zuerst bestimmst du das Skalarprodukt der Vektoren und
Dann berechnest du die Längen der beiden Vektoren
Nun kannst du die errechneten Werte in die Formel einsetzen und erhältst damit
wobei du jetzt noch nach umformen musst, um so den Winkel
zwischen den beiden Vektoren zu berechnen.
Aufgabe 2: Vektoren mit 3 Komponenten
Wie groß ist der Winkel, den die beiden Vektoren und einspannen?
Lösung Aufgabe 2
Zuallererst berechnest du das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Damit erhältst du
Anschließend brauchst du noch die Längen der zwei Vektoren
Nun hast du alles was du benötigst. Eingesetzt in die Formel erhältst du
Zum Schluss formst du noch nach um, das heißt du wendest auf beide Seiten an und bekommst somit den Winkel