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Trigonometrische Funktionen
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arcsin / arccos einfach erklärt

Die Funktionen arcsin (Arcussinus) und arccos (Arcuscosinus) sind die Umkehrfunktionen von Sinus und Cosinus

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arcsin(x) und arccos(x)

Mit Arcussinus und Arcuscosinus kannst du aus einer Zahl einen Winkel berechnen. Mit den trigonometrischen Funktionen %Fachbegriff wegen FS Sinus und Cosinus berechnest du dagegen aus einem Winkel eine Zahl

Beispiel:    sin(30°) = 0,5    →    arcsin(0,5) = 30°

Die Zahl bezeichnest du auch als Verhältnis.%FS Wenn du wissen willst, warum, schau hier vorbei!

arcsin / arccos Beispiel

Arcus Sinus und Arcus Cosinus verwendest du, um Gleichungen mit Sinus und Cosinus zu lösen. Dafür solltest du dir merken, dass sich der Arcussinus und der Sinus bzw. der Arcuscosinus und der Cosinus gegenseitig aufheben:

arcsin(sin(Winkel)) = Winkel
arccos(cos(Winkel)) = Winkel

Wende das gleich an einem Beispiel an. Du sollst folgende Gleichung nach x auflösen:

sin(α – 90°) = 0 

  • Schritt 1: Um den Sinus aufzulösen, nimmst du auf beiden Seiten den arcsin:

    \begin{align*} \textcolor{red}{\sin}(\textcolor{teal}{\alpha -90^{\circ}}) &= \textcolor{orange}{0} &&|\, \arcsin\\ \textcolor{red}{\arcsin}(\textcolor{red}{\sin}(\textcolor{teal}{\alpha -90^{\circ}})) &= \textcolor{red}{\arcsin}(\textcolor{orange}{0}) \\ \textcolor{teal}{\alpha -90^{\circ}} &= \textcolor{red}{\arcsin}(\textcolor{orange}{0}) \end{align*}

  • Schritt 2: Forme nach α um:

    \begin{align*} \textcolor{teal}{\alpha -90^{\circ}} &= \textcolor{red}{\arcsin}(\textcolor{orange}{0}) &&| \, +90^{\circ} \\ \textcolor{teal}{\alpha} &= \textcolor{red}{\arcsin}(\textcolor{orange}{0}) + \textcolor{teal}{90^{\circ}} \end{align*}

  • Schritt 3: Rechne arcsin(0) mit dem Taschenrechner aus:

α = arcsin(0) + 90° 

α =%Neue Ziele: alpha = ... + 90° = 90°

Tipp: Arcussinus und Arcuscosinus am Taschenrechner

An deinem Taschenrechner hast du wahrscheinlich keine extra Taste für arcsin und arccos. Stattdessen findest du oft über der Taste für sin und cos die Aufschrift sin-1 und cos-1. Das ist das Gleiche wie Arcussinus und Arcuscosinus!

arcsin(x) und arccos(x): Definitionsbereich und Wertebereich

In die Funktionen Arcus sin und Arcus cos darfst du nicht alle Zahlen einsetzen.

  • Die Zahlen, die als x-Werte erlaubt sind, nennst du Definitionsbereich .
  • Alles, was beim Ergebnis als y-Wert herauskommen kann, bezeichnest du als Wertebereich .

Schau dir den Definitionsbereich und den Wertebereich für den Arcussinus und den Arcuscosinus einmal an:

  Definitionsbereich Wertebereich
Arcussinus [-1, 1]

    \[[-\frac{\pi}{2},\, \frac{\pi}{2}]\]

Arcuscosinus [-1, 1]

    \[[0,\, \pi]\]

Merke: Die geschlossenen Klammern , zum Beispiel bei [-1, 1], bedeuten, dass du alle Zahlen zwischen -1 und 1 einsetzen darfst, einschließlich der -1 und der 1.

Wie du siehst, gibst du den Wertebereich (also die y-Werte) nicht in Grad an (z. B. 30°), sondern in π . Ein π entspricht dabei 180°. \textcolor{teal}{\frac{\pi}{2}} ist%"das" raus?%done die Hälfe von 180°, also 90°.

Arcus Sinus und Arcus Cosinus: wichtige Werte

Damit du nicht immer den Taschenrechner verwenden musst, solltest du dir einige wichtige Werte der Umkehrfunktion von Sinus und Cosinus merken, wie zum Beispiel arccos(0) und arccos(1).

  • arcsin(-1) = \textcolor{teal}{-\frac{\pi}{2}}  und  arccos(-1) = \textcolor{teal}{\pi}
  • arcsin(0) = 0 und arccos(0) = \textcolor{teal}{\frac{\pi}{2}}
  • arcsin(1) = \textcolor{teal}{\frac{\pi}{2}}  und  arccos(1) = 0

Arcussinus / Arcuscosinus: Ableitungen und Stammfunktion

Die Ableitung von arcsin und die Ableitung von arccos lernst du am besten auswendig:

    \[f(x) = \textcolor{red}{\arcsin(x)} \qquad \longrightarrow \qquad f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]

    \[f(x) = \textcolor{blue}{\arccos(x)} \qquad \longrightarrow \qquad f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]

Auch die Stammfunktion ist gar nicht so schwer:

    \[f(x) = \textcolor{red}{\arcsin(x)} \qquad \longrightarrow \qquad F(x) = x \cdot \arcsin(x) + \sqrt{1-x^2}} + C\]

    \[f(x) = \textcolor{blue}{\arccos(x)} \qquad \longrightarrow \qquad F(x) = x \cdot \arccos(x) - \sqrt{1-x^2}} + C\]

Expertenwissen: Eigenschaften 

Schau dir noch einige weitere Eigenschaften der Umkehrfunktion von Cosinus und Sinus an:

  Arcussinus Arcuscosinus
Definitionsbereich [-1, 1] [-1, 1]
Wertebereich

    \[[-\frac{\pi}{2},\, \frac{\pi}{2}]\]

    \[[0,\, \pi]\]

Monotonie streng monoton wachsend streng monoton fallend
Symmetrie punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0) punktsymmetrisch zu (0|\frac{\pi}{2})
Asymptoten/Grenzwerte arcsin(x) → \pm \frac{\pi}{2} für x → ± 1 arccos(x) → 0 für x → 1 und arccos(x) → 1 für x → -1
Nullstellen (0|0) (1|0)
Extrema keine keine
Wendepunkte (0|0) (0|\frac{\pi}{2})

Expertenwissen: Reihenentwicklung

Du kannst arcsin(x) und arccos(x) auch als Reihe darstellen, also als unendlich lange Summe. Du erhältst:

    \begin{align*} \textcolor{red}{\arcsin(x)} &= \sum_{k=0}^{\infty}\, \binom{-\frac{1}{2}}{k}(-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = x + \frac{1}{6}x^3+\frac{3}{40}x^5+\frac{5}{112}x^7+...\\ \textcolor{blue}{\arccos(x)} &= \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^{\infty}\, \binom{-\frac{1}{2}}{k}(-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1}\end{align*}

Arcustangens

Jetzt weißt du alles über den Arcus Sinus und den Arcus Cosinus, die Umkehrfunktion von Sinus und Cosinus! Es gibt aber noch eine dritte Umkehrfunktion einer trigonometrischen Funktion: den Arcustangens. Schau dir gleich unser Video dazu an!

Zum Video: Arcustangens
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