Was bedeutet eine negative Potenz wie ?

Eine negative Potenz bedeutet, dass du die Zahl als Bruch schreibst. Konkret gilt: . Das Minus im Exponenten wandert also nicht „nach vorne“, sondern macht aus der Potenz den Kehrwert. Zum Beispiel ist .

Wie mache ich aus einer negativen Potenz einen Bruch?

Du schreibst im Zähler eine 1 und in den Nenner die gleiche Potenz ohne Minuszeichen. Dadurch wird aus der Bruch . Zum Beispiel wird zu , und das kannst du dann als ausrechnen.

Wie rechne ich mit dem Potenzgesetz?

Beim Multiplizieren gleicher Basen addierst du die Exponenten. Deshalb wird aus die Potenz . Das ist dasselbe wie . So kannst du negative Exponenten direkt über die Exponentenrechnung „mitnehmen“.

Wann entsteht beim Dividieren automatisch ein negativer Exponent?

Ein negativer Exponent entsteht bei der Division gleicher Basen, wenn der Exponent im Zähler kleiner ist als im Nenner. Denn dann ist die Differenz beim Subtrahieren negativ. Zum Beispiel gilt .

Wie potenziere ich eine Potenz, wenn der äußere Exponent negativ ist, zum Beispiel ?

Beim Potenzieren einer Potenz multiplizierst du die Exponenten und die Basis bleibt gleich. Also wird zu . Danach kannst du die negative Potenz als Bruch schreiben: .

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Negative Potenzen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Negative Potenzen einfach erklärt

(00:12)

Potenzgesetze negativer Exponent

(01:36)

Was sind negative Potenzen und wie rechnest du sie aus? Hier und in unserem Video erfährst du alles, was du wissen musst!

Inhaltsübersicht

Negative Potenzen einfach erklärt

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(00:12)

Eine Potenz ist eine Schreibweise, die du immer dann benutzt, wenn du eine Zahl öfter mit sich selbst mal nimmst. Die untere Zahl nennst du Basis (hier: 2) und die obere Zahl ist der Exponent (hier: 5).

$2^{\textcolor{blue}{5}} = \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}_{\text{\textcolor{blue}{5} mal}$

Bei negativen Potenzen hast du eine Basis mit negativem Exponenten. Zum Beispiel:

3 ^-4
5 ^-2
7 ^-6

Das liest du dann: drei hoch minus vier, fünf hoch minus zwei und sieben hoch minus sechs.

Damit du das Ergebnis ausrechnen kannst, formst du die negative Potenz um. Das machst du so: Du wandelst die negative Potenz in einen Bruch um. Oben schreibst du eine 1 und unten die Potenz ohne Minus-Zeichen.

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Negative Potenzen — Merke

Bei Potenzen mit negativem Exponenten entsteht bei der Umformung ein Bruch. Im Zähler steht eine 1 und im Nenner steht die Basis hoch der Exponent mal – 1. Also die Basis mit dem positiven Exponenten.

Negative Potenzen Beispiele

Schau dir die Umformungen von negativen Potenzen nochmal an ein paar Beispielen an:

Beispiel 1: 10^-5

Um den negativen Exponenten aufzulösen, formst du die Potenz in einen Bruch um. Oben schreibst du eine 1 und unten die Basis hoch den positiven Exponenten.

$10^{\textcolor{red}{-}\textcolor{blue}{5}} =\textcolor{red}{\frac{\textcolor{black}{1}}{\textcolor{black}{10}^\textcolor{blue}{5}}}$

Nun kannst du dein Ergebnis ganz einfach berechnen:

$\frac{1}{10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10} = \frac{1}{100.000}$

Beispiel 2: 6^-3

Oben in den Bruch schreibst du eine 1 und unten die Basis mit dem positiven Exponenten.

$6^{\textcolor{red}{-}\textcolor{blue}{3}} =\textcolor{red}{\frac{\textcolor{black}{1}}{\textcolor{black}{6}^\textcolor{blue}{3}}}$

Rechne nun dein Ergebnis aus:

$\frac{1}{6\cdot6\cdot6} = \frac{1}{216}$

Super! Jetzt weißt du, wie man Potenzen mit negativen Exponenten auflöst! Schau dir jetzt an, wie dir die Potenzgesetze bei Potenzen mit negativen Hochzahlen helfen können.

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Potenzgesetze negativer Exponent

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(01:36)

Das 1. Potenzgesetz lautet:

Wenn zwei Potenzen dieselbe Basis haben und multipliziert ( · ) werden sollen, lässt du eine Basis stehen und addierst ( + ) die Exponenten.

Beispiel: 4⁷ · 4^-5 = 4^7+(-5) = 4^7-5 = 4²

Das 2. Potenzgesetz lautet:

Wenn du zwei Potenzen mit gleicher Basis dividierst ( : ), lässt du eine Basis stehen und subtrahierst ( – ) die Exponenten.

Beispiel: 2⁴ : 2^-3 = 2^4–(-3) = 2⁴⁺³ = 2⁷

Das Ergebnis kann auch einen negativen Exponenten haben: Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis kommt es zu einem negativen Exponenten, wenn die Hochzahl des Zählers kleiner ist als die Hochzahl des Nenners. Beispiel: $\frac{6^\textcolor{olive}{2}}{6^\textcolor{orange}{5}}}=6^{\textcolor{olive}{2}-\textcolor{orange}{5}}=6^{\textcolor{blue}{-3}}$

Das 3. Potenzgesetz lautet:

Potenzierst du eine Potenz, lässt du die Basis stehen und multiplizierst die Exponenten.

Was machst du nun also, wenn es beim Potenzieren einer Potenz einen negativen Exponenten gibt?

Um Potenzen mit negativer Hochzahl zu potenzieren, nimmst du die Exponenten mal und benutzt die Vorzeichenregel. Dann ist das Produkt, also die neue Hochzahl auch negativ. Die Basis bleibt gleich.

Beispiel: (2⁴)^-3= 2 ^4·(-3) = 2^-12 = $\frac{1}{2^\textcolor{blue}{12}}$

Tipp — Hoch Minus 1

Ist der Exponent – 1, bedeutet das: Das Ergebnis ist der Kehrwert der Zahl. Beispiel: 3^-1 = 1/3.

Negative Potenzen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was bedeutet eine negative Potenz wie $6^{-3}$ ?

Eine negative Potenz bedeutet, dass du die Zahl als Bruch schreibst. Konkret gilt: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ . Das Minus im Exponenten wandert also nicht „nach vorne“, sondern macht aus der Potenz den Kehrwert. Zum Beispiel ist $6^{-3}=\frac{1}{6^3}=\frac{1}{216}$ .
Wie mache ich aus einer negativen Potenz einen Bruch?

Du schreibst im Zähler eine 1 und in den Nenner die gleiche Potenz ohne Minuszeichen. Dadurch wird aus $a^{-n}$ der Bruch $\frac{1}{a^n}$ . Zum Beispiel wird $10^{-5}$ zu $\frac{1}{10^5}$ , und das kannst du dann als $\frac{1}{100000}$ ausrechnen.
Wie rechne ich $4^7 \cdot 4^{-5}$ mit dem Potenzgesetz?

Beim Multiplizieren gleicher Basen addierst du die Exponenten. Deshalb wird aus $4^7 \cdot 4^{-5}$ die Potenz $4^{7+(-5)}$ . Das ist dasselbe wie $4^{7-5}=4^2$ . So kannst du negative Exponenten direkt über die Exponentenrechnung „mitnehmen“.
Wann entsteht beim Dividieren automatisch ein negativer Exponent?

Ein negativer Exponent entsteht bei der Division gleicher Basen, wenn der Exponent im Zähler kleiner ist als im Nenner. Denn dann ist die Differenz beim Subtrahieren negativ. Zum Beispiel gilt $\frac{6^2}{6^5}=6^{2-5}=6^{-3}$ .
Wie potenziere ich eine Potenz, wenn der äußere Exponent negativ ist, zum Beispiel $(2^4)^{-3}$ ?

Beim Potenzieren einer Potenz multiplizierst du die Exponenten und die Basis bleibt gleich. Also wird $(2^4)^{-3}$ zu $2^{4\cdot(-3)}=2^{-12}$ . Danach kannst du die negative Potenz als Bruch schreiben: $2^{-12}=\frac{1}{2^{12}}$ .

Potenzgesetze Aufgaben

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