Herleitung der Selbstinduktionsspannung
Wie kannst du die Selbstinduktionsspannung herleiten? Hier erfährst du, wie es geht!
Inhaltsübersicht
Herleitung der Selbstinduktionsspannung einfach erklärt
Die Selbstinduktionsspannung ist eine spezielle Form der Induktionsspannung, die durch das eigene Magnetfeld des Leiters verursacht wurde. Um die Selbstinduktionsspannung herzuleiten, brauchst du daher das Induktionsgesetz.
Induktionsgesetz — allgemein
Laut dem Induktionsgesetz gilt für die (Selbst-)Induktionsspannung in einer Spule allgemein die folgende Gleichung:
![\[U_{\text{ind}}= -N \cdot \dot \Phi}= -N\cdot \frac{\text{d} \Phi}{\text{d} t}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bc68ec354c1dc4419e071fca84c6ba15_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Hierbei steht N für die Anzahl der Windungen und Φ (Phi) für den magnetischen Fluss. Dieser wird in der Formel nach der Zeit abgeleitet. Deswegen ist es hier die Veränderung des Flusses. Du kannst den magnetischen Fluss Φ allgemein mit folgender Formel berechnen:
![\[ \Phi = B \cdot A\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7755facf9a083a2ec9ce903e3bb5281b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die Veränderung des magnetischen Flusses kann also entweder durch die Änderung der magnetischen Flussdichte B oder durch eine Veränderung der durchsetzten Spulenfläche A herbeigeführt werden.
Herleitung mit Induktionsgesetz — Selbstinduktion
Bei der Selbstinduktion entsteht beim Einschalten allmählich ein Magnetfeld und es bricht beim Ausschalten auch langsam zusammen.
Das heißt, dass sich die magnetische Flussdichte ändert. Die durchsetzte Fläche der Spule A ändert sich nicht, weshalb du sie in der Formel der Induktionsspannung aus dem Bruch rausziehst:
![\[U_{\text{ind}}=-N\cdot A \cdot \frac{\text{d} B}{\text{d} t}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-350277a901045c5d2a5ffbb3bf94fc24_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Bei dem speziellen Fall einer Zylinderspule kannst du B auch umschreiben. Es kommt eine Variation der ursprünglichen Formel heraus:
![\[U_{\text{ind}}=-N \cdot A \cdot \frac{\text{d} (\mu_{0} \cdot \frac{N}{l} \cdot I)}{\text{d} t}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6ea715208d225f08e7192f1627de8c33_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die magnetische Feldkonstante μ, die Spulenlänge l und die Windungszahl N ändern sich nicht, wenn sich das Magnetfeld ändert. Daher kannst du sie aus dem Bruch ziehen:
![\[U_{\text{ind}} = -N \cdot A \cdot \mu_0 \cdot \frac{N}{l} = - \underbrace{ {\mu _0} \cdot \frac{{A \cdot {N^2}}}{l} }_{L} \cdot \frac{{\text{d} I}}{{\text{d} t}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-60f67940856addf826f736f52c53a588_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Das ist die Gleichung für die Selbstinduktionsspannung. Die Spannung ist also von der Veränderung des Stromflusses abhängig.
Gut zu wissen: Der Teil vor der Ableitung der Stromstärke ist nichts anderes als die Spulen-Induktivität L. Du kannst die Formel also auch so schreiben:
![\[U_{\text{ind}} = - L \cdot \frac{\text{d} I}{\text{d} t} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f4f8b171302e8f992d5e9ed65d8754ce_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Somit hängt die Spannung auch von der Spulen-Induktivität ab.
Induktivität
Jetzt weißt du, dass die Selbstinduktionsspannung von der Induktivität der Spule abhängig ist. Was das genau ist und wie du sie berechnen kannst, erfährst du in diesem Video dazu!