Geometrie

Normalenvektor

Du musst den Normalenvektor einer Ebene bestimmen? Hier erfährst du es.  %</span>Im Video<span style="color: #00ff00;">Verweis</span> erfährst du, wie das geht!<span style="color: #00ff00;">

Inhaltsübersicht

Normalenvektor einfach erklärt

Ein Normalenvektor  (oder Normalvektor) ist ein Vektor, der senkrecht auf etwas anderem steht. Das kann eine Gerade, eine Ebene, eine Fläche oder auch eine gekrümmte Linie, wie zum Beispiel ein Kreis, sein. In der Mathematik sagt man statt senkrecht auch häufig, dass der Vektor orthogonal zu etwas ist. Ein solcher Vektor wird in der Regel mit \vec{n} bezeichnet.

Meistens wirst du den Normalvektor \vec{n} einer Ebene suchen. Das ist also ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht, so wie im Bild. 

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Normalenvektor einer Ebene

Normalenvektor bestimmen

Wenn du den Normalenvektor einer Ebene oder Gerade bestimmen sollst, dann suchst du also einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene oder Gerade steht. 

Normalenvektor Ebene

Für jede Darstellung einer Ebene kannst du einen Normalenvektor bestimmen.

Normalenform einer Ebene

Hier ist es besonders leicht, den Normalvektor zu bestimmen. Du kannst ihn nämlich einfach ablesen.

E: \left( \left( \begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\\end{array} \right) - \left( \begin{array}{r}1\\1\\1\\\end{array} \right) \right) \cdot \left( \begin{array}{r}4\\2\\1\\\end{array}\right) = 0

In diesem Beispiel ist der Normalvektor \vec{n} = \left(\begin{array}{r}4\\2\\1\\\end{array}\right)

In der allgemeinen Normalenform siehst du auch nochmal den Normalenvektor \vec{n}.

E: \left( \vec{x} - \vec{p} \right) \cdot \vec{n} = 0


Koordinatenform einer Ebene

Auch hier kannst du den Normalvektor einfach wieder ablesen. Schau dir zunächst das Beispiel an.

E: 4x_1 + 2x_2 + 1x_3 - 7 = 0

Hier setzt sich der gesuchte Vektor aus den Zahlen vor x_1, x_2 und x_3 zusammen.

\vec{n} = \left( \begin{array}{r}4\\2\\1\\\end{array}\right)

Das erkennst du auch in der allgemeinen Koordinatenform.

E: n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3-y=0 mit \vec{n} = \left( \begin{array}{r}n_1\\n_2\\n_3\\\end{array}\right)


Parameterform einer Ebene

In diesem Fall kannst du den Normalvektor leider nicht so einfach ablesen. Stattdessen musst du ihn berechnen. 

E: \vec{x} = \left( \begin{array}{r}0\\0\\7\\\end{array}\right) + \lambda \left(\begin{array}{r}1\\0\\-4\\\end{array}\right) + \mu \left(\begin{array}{r}0\\1\\-2\\\end{array}\right)

Dafür bildest du das Kreuzprodukt aus den sogenannten Richtungsvektoren, also dem Vektor hinter \lambda und dem Vektor hinter \mu.

\vec{r_1} \times \vec{r_2} = \left( \begin{array}{r}1\\0\\-4\\\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{r}0\\1\\-2\\\end{array}\right) = \left( \begin{array}{r}0 \cdot (-2) - 1\cdot(-4)\\(-4)\cdot0-1\cdot(-2)\\1\cdot1-0\cdot0\\\end{array}\right) = \left( \begin{array}{r}4\\2\\1\\\end{array}\right)=\vec{n}

Das funktioniert bei jeder Ebene in Parameterform. Die allgemeine Ebene

E: \vec{x} = \vec{a} + \lambda \vec{r_1} + \mu \vec{r_2}

hat somit den Normalenvektor \vec{n} = \vec{r_1} \times \vec{r_2}.

Normalenvektor Gerade 

Du kannst aber auch einen Normalenvektor zu einer Gerade bestimmen. Hier siehst du ein Beispiel für eine Geradengleichung.

3x+5y+2 =0

Den Normalvektor der Gerade kannst du einfach wieder ablesen.

\vec{n} = \left( \begin{array}{r}3\\5\\\end{array} \right)

Allgemein hat eine Gerade also die Form

G: ax+by+d=0 mit \vec{n} = \left( \begin{array}{r}a\\b\\\end{array}\right).

Normalenvektor berechnen

Du kannst natürlich auch einen Normalvektor zu zwei beliebigen Vektoren berechnen. Dafür bildest du einfach das Kreuzprodukt aus den beiden Vektoren. Der so entstandene Vektor ist dann nämlich senkrecht zu den beiden anderen.

Beispiel 

Diese Ebene ist wieder in Parameterform gegeben.

E: \vec{x} = \left( \begin{array}{r}1\\2\\3\\\end{array}\right) + \lambda \left(\begin{array}{r}3\\0\\1\\\end{array}\right) + \mu \left(\begin{array}{r}2\\-1\\4\\\end{array}\right)

Jetzt kannst du wieder den Normalenvektor berechnen, indem du das Kreuzprodukt aus den Richtungsvektoren bildest.

\vec{n} = \left(\begin{array}{r}3\\0\\1\\\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{r}2\\-1\\4\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}0 \cdot 4 - 1 \cdot (-1)\\1 \cdot 2 - 3 \cdot 4\\3 \cdot (-1) - 0 \cdot 2\\\end{array}\right) = \left( \begin{array}{r}1\\-10\\-3\\\end{array}\right)

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