Geometrie
Geometrische Grundlagen
 – Video

Du fragst dich, was orthogonal bedeutet und was orthogonale Geraden für Eigenschaften haben? Hier und im passenden Video dazu erfährst du alles, was du über Orthogonalität in der Ebene und im Raum wissen musst!

Orthogonal einfach erklärt

Du nennst zwei Geraden g und h orthogonal zueinander, wenn sie sich im rechten Winkel (90°) schneiden. Solche Geraden heißen auch senkrecht zueinander .%aktuelles FS von lernhelfer: <span class="ILfuVd" lang="de"><span class="hgKElc">Haben zwei Geraden verschiedene Richtungen, so schneiden sie einander in einem Punkt. Ein Sonderfall für Geraden verschiedener Richtungen sind zueinander senkrechte Geraden. Zwei Geraden g und h heißen zueinander senkrecht (<b>orthogonal</b>) genau dann, wenn sie sich unter einem rechten Winkel schneiden.</span></span>

Um die Orthogonalität von zwei Geraden zu überprüfen, musst du also nachmessen, ob der Winkel zwischen ihnen 90º beträgt

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g ist orthogonal zu h

Damit du den Satz „g ist orthogonal zu h“ nicht immer ausschreiben musst, kannst du auch die Kurzschreibweise g h verwenden. 

Orthogonale Geraden — Eigenschaften

Zwei Geraden, die in dieser speziellen Beziehung zueinander stehen, haben auch besondere Eigenschaften:

  1. Reihenfolge von g und h ist egal: 
    Wenn g orthogonal zu h ist (g h), dann ist auch h orthogonal zu g (h g). Es ist also egal, in welcher Reihenfolge du die Geraden dabei nennst.

  2. Spiegelungseigenschaft:
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    h ist Achsensymmetrisch zur Spiegelachse g
    Du kannst eine Gerade g auch als Spiegelachse verwenden. Stell dir vor, eine Gerade h schneidet g im rechten Winkel. Dann sind die beiden Teile von h auf der einen und auf der anderen Seite von g jeweils Spiegelbilder voneinander.

  3. Beziehung zwischen orthogonal (⊥) und parallel ( ll ):
    • Hast du zwei Geraden g und j, die beide senkrecht zu h sind (g h und j h), dann sind g und j parallel zueinander (schreibe: g ll j).
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      g und j sind Orthogonalen zu h und damit parallel zueinander
    • Umkehrt liegt auch jede Parallele von g senkrecht zu h. Mit diesen unendlich vielen Parallelen von g hat h also auch unendlich viele Orthogonale.
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      Unendlich viele Parallelen von g = Unendlich viele Orthogonalen von h
 

Orthogonale Geraden — Konstruktion

Hier lernst du, wie du vorgehen kannst, wenn du eine Gerade g vorgegeben hast und eine Gerade h konstruieren willst, die senkrecht dazu steht:

  1. Suche dir einen Punkt auf der Gerade g aus, an dem du deine Orthogonale h ansetzten möchtest. Das ist der sogenannte Lotfußpunkt P. Durch ihn ist deine orthogonale Gerade h eindeutig festgelegt.
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    Lotfußpunkt legt Orthogonale eindeutig fest
  2. Nimm nun dein Geodreieck und setze es so an, dass die lange Kante durch den Lotfußpunkt P verläuft. Dabei muss die Mittellinie des Geodreiecks genau auf der Geraden g liegen.
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    Konstruktion der Orthogonalen mit dem Geodreieck
  3. Jetzt musst du nur noch mit deinem spitzen Bleistift an der Kante des Geodreiecks entlang fahren und schon hast du eine Orthogonale h zu g eingezeichnet.
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    Orthogonale h einzeichnen

Orthogonalität von Geraden im Raum

Bisher hast du immer orthogonale Geraden betrachtet, die du auf einem Blatt Papier zeichnen kannst. Du sagst dazu auch: „Die Geraden liegen in einer Ebene.“ Aber Geraden kommen auch im 3-dimensionalen Raum vor. Dort gibt es den Begriff der Orthogonalität ebenfalls. Wenn die Geraden allerdings in unterschiedlichen Ebenen liegen, kannst du nicht so einfach den Winkel messen, den sie einschließen.

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Orthogonale Geraden im Raum

    \begin{align*} &\textcolor{blue}{g} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot  \textcolor{blue}{\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)} \\&\textcolor{olive}{h} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end{array} \right) + t \cdot  \textcolor{olive}{\left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)}\end{align*}

Zur Darstellung von Geraden verwendest du hier sogenannte Vektoren . Diese geben die Richtung einer Geraden an.  Um festzustellen, ob zwei Geraden g und h senkrecht zueinander liegen,  musst du dann das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren berechnen. Diese findest du in den Geradengleichungen , die g und h beschreiben. Ergibt das Skalarprodukt 0, nennst du g und h orthogonal zueinander. 

Hier rechnest du also:

\textcolor{blue}{\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)} \circ \textcolor{olive}{\left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)} = \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{olive}{-1}) + \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{olive}{1} + \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{olive}{0} =0

Die Richtungsvektoren \textcolor{blue}{\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)} von g und  \textcolor{olive}{\left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)} von h stehen also senkrecht aufeinander. Damit sind g und h orthogonal zueinander. 

Achtung: Im 3-dimensionalen Raum können zwei Geraden orthogonal zueinander sein, ohne sich zu schneiden! Denn die eine Gerade kann, wie im Beispiel h, viel höher liegen als die andere. Trotzdem kannst du den rechten Winkel erkennen, wenn du „von oben drauf schaust“.

Merke dir also: Die Orthogonalität ist hier nur eine Aussage über die Richtungen, die durch die Richtungsvektoren angegeben werden — nicht über Schnittpunkte !

Orthogonalität mit Ebenen

Im Raum hast du neben Geraden auch Ebenen. Diese können genauso orthogonal zueinander stehen oder senkrecht von Geraden geschnitten werden. Um das zu überprüfen, spielen wieder Vektoren — die sogenannten Normalenvektoren — eine wichtige Rolle. Du kannst sie entweder direkt ablesen oder mithilfe des Kreuzproduktes aus den beiden Richtungsvektoren einer Ebene berechnen:

Es gilt: 

  • Eine Gerade steht genau dann orthogonal auf einer Ebene, wenn sie parallel zu deren Normalenvektor ist.
  • Zwei Ebenen sind senkrecht zueinander, wenn das Skalarprodukt ihrer Normalenvektoren 0 ergibt.

Winkel messen

Spitze! Jetzt weißt du, was orthogonal bedeutet und weißt, dass du orthogonale Geraden am 90°- Winkel zwischen ihnen erkennst. Aber wie kannst du Winkel eigentlich messen? Wir haben die Antwort für dich in diesem Video!

Zum Video: Winkel messen
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