Binärsystem
Du willst wissen, was das Binärsystem ist, wie es funktioniert und wie du Binärzahlen in Dezimalzahlen umrechnest? Dann bist du hier und in unserem Video genau richtig!
Inhaltsübersicht
Binärsystem einfach erklärt
Das Binärsystem (auch Dualsystem oder Zweiersystem) ist eine Form, wie du Zahlen darstellen kannst — und zwar nur mit den zwei Ziffern 0 und 1. Mathematiker nennen das Binärsystem daher ein Stellenwert-Zahlensystem zur Basis 2.
Das Dezimalsystem, das du normalerweise verwendest, ist dagegen ein Stellenwert-Zahlensystem zur Basis 10. Hier hast du nämlich zehn Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9.
Einen Teil des Binärsystems siehst du in der folgenden Binärsystem Tabelle:
| Dezimalsystem | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Binärsystem | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 |
Dein Computer nutzt das Binärsystem beispielsweise, um Zahlen zu speichern. Denn seine Elektronik kann nur zwei Zustände unterscheiden: „aus“ oder „ein“. Die werden dann durch die zwei Ziffern „0“ und „1“ dargestellt.
Umrechnung — Binärzahlen in Dezimalzahlen
Du kannst relativ schnell Binärzahlen in Dezimalzahlen umrechnen. Schau dir dazu mal die binäre Zahl 1101 an. Du kannst sie umrechnen, indem du sie in eine Stellenwert-Tabelle schreibst. Wichtig ist dabei, dass du die Zahl rechtsbündig einträgst.
![\[\begin{tabular}[h]{l|c|c|c|c|c} \text{Stellenwert}&\textcolor{teal}{16} &\textcolor{orange}{8} & \textcolor{blue}{4} & \textcolor{olive}{2} & \textcolor{red}{1}\\ \hline \text{Zweierpotenz}&2^{\textcolor{teal}{4}}& 2^{\textcolor{orange}{3}} & 2^{\textcolor{blue}{2}} & 2^{\textcolor{olive}{1}} & 2^{\textcolor{red}{0}}\\ \hline \text{Binärzahl}& &1 &1& 0 & 1 \\ \end{tabular}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-40b376f9e9c0fb5c6cc98fe9480e4c28_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Jede Stelle im binären Zahlensystem steht nämlich für eine Potenz der Basis 2. Die Stelle ganz rechts steht für den Wert 20 . Links daneben geht es dann mit 21, 22, 23 … weiter. Der Exponent wird also mit jeder Stelle um eins erhöht.
Um den Wert der Binärzahl im Dezimalsystem zu bestimmen, musst du dann nur noch die Zweier-Potenzen zusammenrechnen. Bei einer 1 zählst du die entsprechende Potenz mit und bei einer 0 nicht:
1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1 = 13
Umrechnung — Dezimalzahlen in Binärzahlen
Wie du eine Zahl, die im gewohnten Dezimalsystem dargestellt ist, als Binärzahl schreiben kannst, siehst du am folgenden Beispiel:
Deine Aufgabe ist es, die Zahl 21 im Binärsystem darzustellen. Dabei überlegst du dir, wie du 21 in Zweierpotenzen (1, 2, 4, 8, 16…) zerlegen kannst. Wichtig ist, dass du jede Zweierpotenz höchstens einmal verwendest!
21 = 1 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1 = 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20
Das kannst du jetzt in die Stellenwerttafel eintragen. Bei Zweierpotenzen, die du brauchst, schreibst du eine 1, an die anderen eine 0.
![\[\begin{tabular}[h]{l|c|c|c|c|c} \text{Stellenwert}&\textcolor{teal}{16} &\textcolor{orange}{8} & \textcolor{blue}{4} & \textcolor{olive}{2} & \textcolor{red}{1}\\ \hline \text{Zweierpotenz}&2^{\textcolor{teal}{4}}& 2^{\textcolor{orange}{3}} & 2^{\textcolor{blue}{2}} & 2^{\textcolor{olive}{1}} & 2^{\textcolor{red}{0}}\\ \hline \text{Binärzahl}& 1 &0 & 1& 0 & 1\\ \end{tabular}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-08fa7c5b9f61e4ed6508e16ab6407235_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die Binärzahl zu 21 kannst du dann ablesen: 10101.
Eine Zahl, die nur aus den Ziffern 0 und 1 besteht, kannst du sowohl als Dezimalzahl als auch als Binärzahl lesen! Um sie zu unterscheiden, schreibst du eine 10 (für Dezimalsystem) oder eine 2 (für Dualsystem) als tiefgestellten Index hinter die Zahl.
1110 wäre also die Zahl 11 dargestellt im Dezimalsystem.
112 bezeichnet dagegen die Zahl 21 + 20 = 3 im Binär System.
Prima! Jetzt weißt du, was Binär Zahlen sind und wie du sie in Dezimalzahlen umrechnest. Schau dir als Nächstes an, wie du Binärzahlen addieren und subtrahieren kannst!
Binärsystem — Addition und Subtraktion
Die Addition und Subtraktion von Binärzahlen funktioniert stellenweise. Beginne dazu mit der niedrigsten Potenz ganz rechts. In einigen Fällen gibt es aber einen Übertrag in die nächste Stelle, ähnlich wie beim schriftlichen Rechnen . Es gibt dabei jeweils nur drei Regeln, die du dir merken musst:
| Additionsregeln im Binär System | Beispiel: Addition von Binärzahlen |
| 1. Fall: 0 + 0 = 0 |
|
|
2. Fall: 1 + 0 = 1 (genauso: 0 + 1 = 1) |
|
| 3. Fall: 1 + 1 = 0 mit Übertrag 1 |
|
| Im letzten Schritt musst du nochmal Fall 3 anwenden. Ganz rechts steht jetzt nur noch eine 1 aus dem Übertrag. Das behandelst du genauso wie 0 + 1 aus dem 2. Fall. |
|
![\[\begin{document} \begin{center} \begin{tabular}{cr} &111$\textcolor{red}{0}$ \\ +&10$\textcolor{red}{0}$ \\ &\\ \hline&$\textcolor{red}{0}$\\ \end{tabular} \end{center} \end{document}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-67b177822f4524741c2455a00e0cdc72_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\begin{document} \begin{center} \begin{tabular}{cr} &11$\textcolor{red}{1}$0 \\ +&1$\textcolor{red}{0}$0 \\ &\\ \hline&$\textcolor{red}{1}$0\\ \end{tabular} \end{center} \end{document}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c21de0435db6929088f981dd6ab8b53e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\begin{document} \begin{center} \begin{tabular}{cr} &1$\textcolor{red}{1}$10 \\ +&$\textcolor{red}{1}$00 \\ &\textsubscript{$\textcolor{red}{1}$}\phantom{111}\\ \hline&$\textcolor{red}{0}$10\\ \end{tabular} \end{center} \end{document}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-60cbd5c5d46cf7d8e1e2fc94ae1595c4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\begin{document} \begin{center} \begin{tabular}{cr} &\textcolor{red}{1}110 \\ +&100 \\ &\textsubscript{$\textcolor{red}{11}$}\phantom{111}\\ \hline&\textcolor{red}{10}010\\ \end{tabular} \end{center} \end{document}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d594b5a68603da14c114d83ad5c7b059_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Das Ergebnis dieser Additionsaufgabe ist also 10010.
Schau dir gleich noch an, wie das bei der Subtraktion funktioniert:
| Subtraktionsregeln im Binär System | Beispiel: Subtraktion von Binärzahlen |
|
1. Fall: 0 – 0 = 0 |
|
|
2. Fall: 1 – 0 = 1 |
|
| 3. Fall: 0 – 1 = 1 mit Übertrag 1 |
|
![\[\begin{document} \begin{center} \begin{tabular}{cr} &101$\textcolor{red}{0}$ \\ -&10$\textcolor{red}{0}$ \\ & \\ \hline&$\textcolor{red}{0}$\\ \end{tabular} \end{center} \end{document}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9fdc32c4fdb4b781aa966fc9270e2ec9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\begin{document} \begin{center} \begin{tabular}{cr} &10$\textcolor{red}{1}$0 \\ -&1$\textcolor{red}{0}$0 \\ & \\ \hline&$\textcolor{red}{1}$0\\ \end{tabular} \end{center} \end{document}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aa3df234a6b01aba959684c8c73ab171_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\begin{document} \begin{center} \begin{tabular}{cr} &1$\textcolor{red}{0}$10 \\ -& $\textcolor{red}{1}$00 \\ &\textsubscript{$\textcolor{red}{1}$}\phantom{111} \\ \hline&$\textcolor{red}{1}$10\\ \end{tabular} \end{center} \end{document}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1cdfde66acc35e52ed054ada014f47b7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Übrigens: Wenn bei einer Binärzahl ganz links eine 0 steht, darfst du sie weglassen (Beispiel: 110 statt 0110). An allen anderen Stellen ist die 0 aber wichtig!
Aber wozu brauchst du eigentlich das Binäre System?
Binärsystem — Anwendungen
Viele natürliche Prozesse haben genau zwei Zustände, denen die Ziffern 0 und 1 zugeordnet werden können:
- Computer: an (1) – aus (0)
- Schalter: offen (1) – geschlossen (0)
- Elektronik: Strom fließt (1) – kein Strom fließt (0)
- Logik: wahr (1) – falsch (0)
Damit ist das Zweiersystem perfekt geeignet, um solche Vorgänge als Binärcode zu beschreiben. Besonders im IT Bereich spielen Binär Zahlen eine wichtige Rolle. Binärcodes verwendest du dort zum Beispiel zur Speicherung und Verarbeitung von Daten. Du kannst aber auch ganze Alphabete mithilfe einer Binärcode-Tabelle verschlüsseln.
Bruch in Dezimalzahl
Geschafft! Jetzt kennst du dich bestens mit dem binären Zahlensystem aus und weißt, wie du Binär Zahlen in Dezimalzahlen umrechnest. Das Umrechnen von Zahlen begegnet dir in Mathe aber nicht nur beim Binärsystem. Zum Beispiel musst du auch oft Brüche in Dezimalzahlen umwandeln. Schau dir doch direkt mal unser Video dazu an!
