Mathematische Grundlagen
Zahlenlehre
 – Video
Video anzeigen

Du willst wissen, was das  Binärsystem ist, wie es funktioniert und wie du Binärzahlen in Dezimalzahlen umrechnest? Dann bist du hier genau richtig!%Schau dir unser Video dazu an!

Binärsystem einfach erklärt

Das Binärsystem (auch Dualsystem oder Zweiersystem) ist eine Form, wie du Zahlen darstellen kannst — und zwar nur mit den zwei Ziffern 0 und 1. Mathematiker nennen das Binärsystem daher ein Stellenwert-Zahlensystem zur Basis 2.%FS Versuch 

Das Dezimalsystem, das du normalerweise verwendest, ist dagegen ein Stellenwert-Zahlensystem zur Basis 10. Hier hast du nämlich zehn Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9.

Einen Teil des Binärsystems siehst du in der folgenden Binärsystem Tabelle:

Dezimalsystem 1 2 3 4 5 6 7 8
Binärsystem 1 10 11 100 101 110 111 1000

Dein Computer nutzt das Binärsystem beispielsweise, um Zahlen zu speichern. Denn seine Elektronik kann nur zwei Zustände unterscheiden: „aus“ oder „ein“. Die werden dann durch die zwei Ziffern  „0“ und  „1“ dargestellt.

Umrechnung — Binärzahlen in Dezimalzahlen

Du kannst relativ schnell Binärzahlen in Dezimalzahlen umrechnen. Schau dir dazu mal die binäre Zahl 1101 an. Du kannst sie umrechnen, indem du sie in eine Stellenwert-Tabelle schreibst. Wichtig ist dabei, dass du die Zahl rechtsbündig einträgst.

    \[\begin{tabular}[h]{l|c|c|c|c|c} \text{Stellenwert}&\textcolor{teal}{16} &\textcolor{orange}{8} & \textcolor{blue}{4} & \textcolor{olive}{2} & \textcolor{red}{1}\\ \hline \text{Zweierpotenz}&2^{\textcolor{teal}{4}}& 2^{\textcolor{orange}{3}}  & 2^{\textcolor{blue}{2}} & 2^{\textcolor{olive}{1}} & 2^{\textcolor{red}{0}}\\ \hline \text{Binärzahl}& &1 &1& 0  & 1 \\ \end{tabular}\]

Jede Stelle im binären Zahlensystem steht nämlich für eine Potenz der Basis 2. Die Stelle ganz rechts steht für den Wert 20 . Links daneben geht es dann mit 21, 22, 23 … weiter. Der Exponent wird also mit jeder Stelle um eins erhöht.

Um den Wert der Binärzahl im Dezimalsystem zu bestimmen, musst du dann nur noch die Zweier-Potenzen zusammenrechnen. Bei einer 1 zählst du die entsprechende Potenz mit und bei einer 0 nicht:

1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 2= 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1 = 13

Umrechnung — Dezimalzahlen in Binärzahlen

Wie du eine Zahl, die im gewohnten Dezimalsystem dargestellt ist, als Binärzahl schreiben kannst, siehst du am folgenden Beispiel:

Deine Aufgabe ist es, die Zahl 21 im Binärsystem darzustellen. Dabei überlegst du dir, wie du 21 in Zweierpotenzen (1, 2, 4, 8, 16…) zerlegen kannst. Wichtig ist, dass du jede Zweierpotenz höchstens einmal verwendest! 

 21 = 1 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1 = 1 · 24 + 0 · 23  + 1 · 22 + 0 · 21 +  1 · 2

Das kannst du jetzt in die Stellenwerttafel eintragen. Bei Zweierpotenzen, die du brauchst, schreibst du eine 1, an die anderen eine 0.

    \[\begin{tabular}[h]{l|c|c|c|c|c} \text{Stellenwert}&\textcolor{teal}{16} &\textcolor{orange}{8} & \textcolor{blue}{4} & \textcolor{olive}{2} & \textcolor{red}{1}\\ \hline \text{Zweierpotenz}&2^{\textcolor{teal}{4}}& 2^{\textcolor{orange}{3}}  & 2^{\textcolor{blue}{2}} & 2^{\textcolor{olive}{1}} & 2^{\textcolor{red}{0}}\\ \hline \text{Binärzahl}& 1 &0 & 1&  0 & 1\\ \end{tabular}\]

Die Binärzahl zu 21 kannst du dann ablesen: 10101.

11 im Dezimal- und Binärsystem

Eine Zahl, die nur aus den Ziffern 0 und 1 besteht, kannst du sowohl als Dezimalzahl als auch als Binärzahl lesen! Um sie zu unterscheiden, schreibst du eine 10 (für Dezimalsystem) oder eine 2 (für Dualsystem) als tiefgestellten Index hinter die Zahl.

1110 wäre also die Zahl 11 dargestellt im Dezimalsystem.
112  bezeichnet dagegen die Zahl 21 + 20 = 3 im Binär System.

Prima! Jetzt weißt du, was Binär Zahlen sind und wie du sie in Dezimalzahlen umrechnest. Schau dir als Nächstes an, wie du Binärzahlen addieren und subtrahieren kannst!

Binärsystem — Addition und Subtraktion

Die Addition und Subtraktion von Binärzahlen funktioniert stellenweise. Beginne dazu mit der niedrigsten Potenz ganz rechts. In einigen Fällen gibt es aber einen Übertrag in die nächste Stelle, ähnlich wie beim schriftlichen Rechnen. Es gibt dabei jeweils nur drei Regeln, die du dir merken musst:

Additionsregeln im Binär System Beispiel: Addition von Binärzahlen
1. Fall: 0 + 0 = 0

    \[\begin{document} \begin{center} \begin{tabular}{cr} &111$\textcolor{red}{0}$ \\ +&10$\textcolor{red}{0}$ \\ &\\ \hline&$\textcolor{red}{0}$\\ \end{tabular} \end{center} \end{document}\]

2. Fall: 1 + 0 = 1
(genauso: 0 + 1 = 1)

    \[\begin{document} \begin{center} \begin{tabular}{cr} &11$\textcolor{red}{1}$0 \\ +&1$\textcolor{red}{0}$0 \\ &\\ \hline&$\textcolor{red}{1}$0\\ \end{tabular} \end{center} \end{document}\]

3. Fall: 1 + 1 = 0 mit Übertrag 1

    \[\begin{document} \begin{center} \begin{tabular}{cr} &1$\textcolor{red}{1}$10 \\ +&$\textcolor{red}{1}$00 \\ &\textsubscript{$\textcolor{red}{1}$}\phantom{111}\\ \hline&$\textcolor{red}{0}$10\\ \end{tabular} \end{center} \end{document}\]

Im letzten Schritt musst du nochmal Fall 3 anwenden. Ganz rechts steht jetzt nur noch eine 1 aus dem Übertrag. Das behandelst du genauso wie 0 + 1 aus dem 2. Fall.

    \[\begin{document} \begin{center} \begin{tabular}{cr} &\textcolor{red}{1}110 \\ +&100 \\ &\textsubscript{$\textcolor{red}{11}$}\phantom{111}\\ \hline&\textcolor{red}{10}010\\ \end{tabular} \end{center} \end{document}\]

Das Ergebnis dieser Additionsaufgabe ist also 10010.

Schau dir gleich noch an, wie das bei der Subtraktion funktioniert:

Subtraktionsregeln im Binär System Beispiel: Subtraktion von Binärzahlen

1. Fall: 00 = 0
(genauso 1 – 1 = 0)

    \[\begin{document} \begin{center} \begin{tabular}{cr} &101$\textcolor{red}{0}$ \\ -&10$\textcolor{red}{0}$ \\ & \\ \hline&$\textcolor{red}{0}$\\ \end{tabular} \end{center} \end{document}\]

2. Fall: 10 = 1

    \[\begin{document} \begin{center} \begin{tabular}{cr} &10$\textcolor{red}{1}$0 \\ -&1$\textcolor{red}{0}$0 \\ & \\ \hline&$\textcolor{red}{1}$0\\ \end{tabular} \end{center} \end{document}\]

3. Fall: 01 = 1 mit Übertrag 1

    \[\begin{document} \begin{center} \begin{tabular}{cr} &1$\textcolor{red}{0}$10 \\ -& $\textcolor{red}{1}$00 \\ &\textsubscript{$\textcolor{red}{1}$}\phantom{111} \\ \hline&$\textcolor{red}{1}$10\\ \end{tabular} \end{center} \end{document}\]

Übrigens: Wenn bei einer Binärzahl ganz links eine 0 steht, darfst du sie weglassen (Beispiel: 110 statt 0110). An allen anderen Stellen ist die 0 aber wichtig!

Aber wozu brauchst du eigentlich das Binäre System?

Binärsystem — Anwendungen

Viele natürliche Prozesse haben genau zwei Zustände, denen die Ziffern 0 und 1 zugeordnet werden können:

  • Computer: an (1) – aus (0)
  • Schalter: offen (1) – geschlossen (0)
  • Elektronik: Strom fließt (1) – kein Strom fließt (0)
  • Logik: wahr (1) – falsch (0)

Damit ist das Zweiersystem perfekt geeignet, um solche Vorgänge als Binärcode zu beschreiben. Besonders im IT Bereich spielen Binär Zahlen eine wichtige Rolle. Binärcodes verwendest du dort zum Beispiel zur Speicherung und Verarbeitung von Daten. Du kannst aber auch ganze Alphabete mithilfe einer Binärcode-Tabelle verschlüsseln.

Bruch in Dezimalzahl

Geschafft! Jetzt kennst du dich bestens mit dem binären Zahlensystem aus und weißt, wie du Binär Zahlen in Dezimalzahlen umrechnest. Das Umrechnen von Zahlen begegnet dir in Mathe aber nicht nur beim Binärsystem. Zum Beispiel musst du auch oft Brüche in Dezimalzahlen umwandeln. Schau dir doch direkt mal unser Video dazu an%Thumbnail: Bruch in Dezimalzahl!

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.