Mathematische Grundlagen
Rechenregeln
 – Video

Beim Ausrechnen von Matheaufgaben ist die Rechenreihenfolge häufig wichtig. Damit du immer weißt, in welcher Reihenfolge du vorgehst, gibt es in Mathe Rechengesetze und Rechenregeln. Hier zeigen wir dir, wie du die wichtigsten Gesetze in Mathe benutzt. Sieh dir unser Video an, um einen guten Überblick über die Gesetze in Mathe zu bekommen!

Kommutativgesetz Mathe

Schauen wir uns gleich die wichtigsten Mathe-Gesetze an: Das Kommutativgesetz erlaubt dir, bei Addition und Multiplikation beide Zahlen zu vertauschen. Daher kannst du es auch Vertauschungsgesetz nennen.

    \[\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{b} + \textcolor{blue}{a}\]

    \[\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{blue}{a}\]

In einer Aufgabe macht es also keinen Unterschied, in welcher Reihenfolge du addierst.

    \[\textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{5} = 7\]

    \[\textcolor{red}{5} + \textcolor{blue}{2} = 7\]

Auch bei der Multiplikation darfst du beide Zahlen vertauschen.

    \[\textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{3} = 12\]

    \[\textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{blue}{4} = 12\]

Assoziativgesetz Mathe

Das nächste Rechengesetz heißt Assoziativgesetz . Es erlaubt dir, die Klammern bei der Addition dreier Zahlen beliebig zu setzen. Deshalb heißt es auch Verknüpfungsgesetz.

 

    \[(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}) + \textcolor{orange}{c} = \textcolor{blue}{a} + (\textcolor{red}{b} + \textcolor{orange}{c}) = \textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b} + \textcolor{orange}{c}\]

Du darfst also beim Addieren die Klammern beliebig setzen und damit in jeder Reihenfolge zusammenzählen.

    \begin{align*} (\textcolor{blue}{1} + \; \textcolor{red}{2}) + \textcolor{orange}{3} \; &= (3) + \textcolor{orange}{3} = 6\\ \; \textcolor{blue}{1} + (\textcolor{red}{2} \; + \textcolor{orange}{3}) &= \textcolor{blue}{1} + (5) = 6\\ \end{align*}

Das Assoziativgesetz besagt außerdem, dass du bei der Multiplikation von drei Zahlen die Klammern beliebig setzen darfst. Es spielt keine Rolle, welche beiden Zahlen du zuerst multiplizierst.

    \[(\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}) \cdot \textcolor{orange}{c} = \textcolor{blue}{a} \cdot (\textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{orange}{c}) = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{orange}{c} \]

Du darfst also die Terme in jeder beliebigen Reihenfolge multiplizieren, ohne dass es einen Einfluss auf dein Ergebnis hat.

    \begin{align*} (\textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{5}) \cdot \textcolor{orange}{6} &= (20) \cdot \textcolor{orange}{6} = 120 \\ \textcolor{blue}{4} \cdot (\textcolor{red}{5} \cdot \textcolor{orange}{6}) &= \textcolor{blue}{4} \cdot (30) = 120 \\ \end{align*}

Distributivgesetz Mathe

Das Distributivgesetz besagt, dass du bei der Multiplikation mit einer Klammer jeden Teil der Klammer mit dem Teil vor der Klammer multiplizieren musst. Daher kannst du es auch Verteilungsgesetz nennen. Du rechnest also \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} und \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{orange}{c}.

    \[\textcolor{blue}{a} \cdot (\textcolor{red}{b} + \textcolor{orange}{c}) = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} + \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{orange}{c} \]

Das Distributivgesetz brauchst du, um solche Terme zu lösen:

    \[\textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{5} + \textcolor{orange}{x}) = \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{5} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{orange}{x} = 15 + 3 x \]

Besonders aufpassen musst du beim Klammer-auflösen mit einem Minus, da du die negative Zahl mit jedem Teil der Klammer multiplizieren musst. Durch das  vor der Klammer ändern sich beim Klammernauflösen die Vorzeichen der einzelnen Klammerteile. Das Auflösen einer Minusklammer geht so:

    \[\textcolor{blue}{-2} \cdot (\textcolor{red}{x} - \textcolor{orange}{y}) = \textcolor{blue}{-2} \cdot \textcolor{red}{x} + \textcolor{blue}{-2} \cdot \textcolor{orange}{-y} = -2x + (-2) \cdot (-y) = -2x + 2y \]

Auch bei der Division teilst du jeden Teil in der Klammer durch den Teil hinter der Klammer. 

    \[ (\textcolor{blue}{34} + \textcolor{red}{x}) : \textcolor{orange}{3} = \frac{\textcolor{blue}{34}}{\textcolor{orange}{3}} + \frac{\textcolor{red}{x}}{\textcolor{orange}{3}}\]

Spitze! Die wichtigsten Rechengesetze in Mathe kennst du jetzt. Kommutativgesetz , Assoziativgesetz und Distributivgesetz meisterst du ab jetzt mit Links!

Punkt vor Strich

Neben Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz gibt es in Mathe weitere Rechenregeln. Eine wichtige Mathe-Regel lautet: Punkt- vor Strichrechnung. Aber Achtung: Punkt vor Strich gilt nur, wenn es keine vorrangigen Klammern gibt. Zuerst rechnest du also die Klammern und danach Punkt vor Strich. 

Rechnen mit Rechengesetzen

Sehen wir uns die Mathe-Rechengesetze und Rechenregeln einmal genauer an.

    \[6 \cdot (2 + 4 + x) = \]

Als Erstes siehst du dir die Terme in Klammern an. In der Klammer kannst du bereits 2 und 4 zusammenzählen.

    \[6 \cdot (\textcolor{olive}{2} + \textcolor{olive}{4} + \textcolor{olive}{x}}) = 6 \cdot (\textcolor{olive}{6 + x}) \]

Da du 6 und x nicht zusammenzählen kannst, machst du dich jetzt ans Multiplizieren. Dabei beachtest du das Distributivgesetz: Du multiplizierst also die 6 vor der Klammer mit allen Teilen in der Klammer. 

    \[ \textcolor{blue}{6} \cdot (\textcolor{red}{6} + \textcolor{orange}{x}) = \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{6} + \textcolor{orange}{x} \cdot \textcolor{blue}{6}\]

Jetzt hast du keine Klammern mehr und kannst von links nach rechts rechnen:

    \[\textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{6} + \textcolor{orange}{x} \cdot \textcolor{blue}{6} = 36 + 6x\]

Spitze! Rechengesetze in Mathe und Rechenregeln machen dir nun keine Probleme mehr.

Ausmultiplizieren und Ausklammern

Beim Ausmultiplizieren und Ausklammern %Großschreiben <span style="color: #ff00ff;">done</span> wendest du das Distributivgesetz an. Wenn du dir noch ein paar Beispiele anschauen willst, haben wir dir ein passendes Video vorbereitet.

Zum Video: Distributivgesetz
Zum Video: Distributivgesetz

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