Polynomdivision

Polynomdivision einfach erklärt  

Bei der Polynomdivision teilst du ein Polynom durch ein anderes. Polynome sind mehrgliedrige Terme, die Potenzen enthalten, wie diese hier:

f(x) = 5x² + 3x – 12,

g(x) = x – 4.

Mit der Polynomdivision kannst du also zum Beispiel (5x² + 3x – 12) : (x – 4) ausrechnen. Das funktioniert vom Prinzip her ähnlich wie das schriftliche Teilen in der Grundschule. In unserem Einsteiger-Artikel erklären wir dir das ausführlicher.

Wie genau du auf die unten stehende Lösung kommst, erklären wir dir gleich Schritt für Schritt.

Polynomdivision Schritt-für-Schritt Anleitung  

Wir wollen nun durch teilen:

( 5x² + 3x -12 ) : ( x – 4 ) = ?

Erster Durchgang

Schritt 1: Im ersten Schritt müssen wir uns überlegen, womit wir multiplizieren müssen, um zu erhalten. Die Antwort schreiben wir als ersten Teil der Lösung rechts neben das -Zeichen.

Schritt 2: Als nächstes multiplizieren wir die gefundenen mit dem Divisor . Das Ergebnis schreiben wir unter das erste Polynom. Wie bei der schriftlichen Division müssen wir davor aber noch ein Minus-Zeichen und einen Strich darunter setzen.

Schritt 3: Jetzt ziehen wir vom Polynom darüber ab und schreiben das Ergebnis unter den Strich. Du siehst, das funktioniert wieder genauso wie beim schriftlichen Teilen normaler Zahlen.

Zweiter Durchgang

Schritt 4: Mit dem ersten Durchgang sind wir fertig. Die Schritte 1 bis 3 wiederholen wir anschließend mit dem Term, der noch übrig ist: . Wir fragen uns wieder womit man multiplizieren muss, um zu erhalten. Die Antwort schreiben wir wieder auf die Ergebnisseite rechts:

Schritt 5: Die multiplizieren wir anschließend mit und schreiben das Ergebnis unter das Restpolynom. Zum Schluss setzen wir noch ein Minuszeichen davor und ziehen einen Strich darunter.

Schritt 6: Wieder ziehen wir nun die vom Restpolynom ab und schreiben das Ergebnis 80 unter den Strich.

Dritter Durchgang

Schritt 7: Auch den zweiten Durchgang haben wir damit geschafft. Wenn wir uns jetzt überlegen, womit wir multiplizieren müssen, um auf zu kommen, dann sehen wir, dass das nicht geht. Wir sind also fast am Ende der Polynomdivision angekommen. Wir müssen nur noch den Rest zum Ergebnis schreiben. Dafür schreiben wir einfach zur Lösung.

Übrigens, wir haben einen extra Beitrag mit Polynomdivision Aufgaben ! Dort erklären wir dir noch viele weitere Beispiele Schritt für Schritt. 

Nullstellen finden mit der Polynomdivision

Musst du für ein Polynom dritten Grades die Nullstellen berechnen und kennst bereits eine Nullstelle, dann kannst du mit der Polynomdivision einfach die weiteren Nullstellen finden: Du teilst das Polynom einfach durch 1 Minus der gefundenen Nullstelle. Das Ergebnis wird dann ein Polynom zweiten Grades sein für das du dann mit der Mitternachtsformel oder der abc-Formel die Nullstellen bestimmen kannst.

Polynomdivision Aufgaben  

In diesem Abschnitt rechnen wir dir zwei Aufgaben vor.

Aufgabe 1: Polynomdivision ohne Rest

Bestimme das Ergebnis der Division des Polynoms durch das Polynom .

Lösung Aufgabe 1

Der Term mit dem höchsten Exponenten von ist . Wir müssen daher im ersten Schritt mit multiplizieren. Das Ergebnis dieser Multiplikation ist das Polynom . Dieses ziehen wir nun von ab und erhalten als Ergebnis . 

Das Polynom besitzt als Term mit dem höchsten Exponenten . Somit müssen wir diesmal mit 4 multiplizieren und erhalten als Ergebnis . Subtrahieren wir jetzt diese beiden Polynome und voneinander, erhalten wir als Ergebnis Null. Damit ist die Polynomdivision zu Ende. Das Gesamtergebnis sieht dann so aus:

Aufgabe 2: Polynomdivision mit Rest

Du hast folgende Polynome gegeben 

und

.

Bestimme das Ergebnis der Division von durch .

Lösung Aufgabe 2

Das Polynom besitzt als Term mit höchsten Exponent den Ausdruck . Wir müssen daher mit multiplizieren und erhalten als Ergebnis das Polynom . Dieses ziehen wir von ab und bekommen (in der Polynomdivision wird immer nur der Term mit dem nächstgrößeren Exponenten verwendet; hier also nur ). 

Um zu eliminieren, müssen wir mit multiplizieren. Das Ergebnis dieser Multiplikation ist und die Subtraktion der beiden Polynome und führt zu (jetzt wird der Term mit dem nächstgrößeren Exponenten (hier die 9) zu diesem Polynom ergänzt). 

Jetzt multiplizieren wir mit 13 und ziehen das Ergebnis von ab. Wir erhalten daraus die Zahl 35, welche einen Exponenten von Null besitzt. Der höchste Exponent von ist aber 1 und damit ist die Polynomdivision zu Ende. Das Gesamtergebnis sieht dann so aus.

Noch mehr Aufgaben zur Polynomdivision zeigen wir dir Schritt für Schritt in einem extra Video!