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a² + b² = c²

Du fragst dich, wie du die Gleichung a² + b² = c² $umstellst? Hier erfährst du Schritt für Schritt, wie das funktioniert und was du dabei beachten musst.$

Inhaltsübersicht

a² + b² = c² — einfach erklärt

Die Gleichung a² + b² = c² kennst du auch als den Satz des Pythagoras . Wenn du die Gleichung umstellst, kannst du damit die einzelnen Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen. Dabei stehen a und b für die Katheten, also die beiden kürzeren Seiten. Die Hypotenuse c ist die längste Seite des Dreiecks gegenüber dem rechten Winkel.

a2+b2=c2, a2 + b2 = c2, satz des pythagoras umstellen, a^2+b^2=c^2, a+b=c, satz des pythagoras, satz pythagoras — rechtwinkliges Dreieck

Hier siehst du die umgestellten Formeln für die einzelnen Seiten :

Hypotenuse c berechnen: $\textcolor{teal}{\text{c}} = \sqrt{\textcolor{red}{\text{a}}^2 + \textcolor{blue}{\text{b}}^2}$
Kathete a berechnen: $\textcolor{red}{\text{a}} = \sqrt{\textcolor{teal}{\text{c}}^2 - \textcolor{blue}{\text{b}}^2}$
Kathete b berechnen: $\textcolor{blue}{\text{b}} = \sqrt{\textcolor{teal}{\text{c}}^2 - \textcolor{red}{\text{a}}^2}$

a² + b² = c²– Umstellen der Gleichung

Schau dir hier Schritt für Schritt an, wie du die Gleichung jeweils umformst:

1. Hypotenuse c $berechnen$ $:$

Um die Formel nach c umzustellen, musst du nur auf beiden Seiten der Gleichung a² + b² = c²die Wurzel ziehen:

a² + b² = c² $\quad | \quad \sqrt{\:}$

$\sqrt{\textcolor{red}{\text{a}}^2 + \textcolor{blue}{\text{b}}^2}=\textcolor{teal}{\text{c}}$

→ $\textcolor{teal}{\text{c}} = \sqrt{\textcolor{red}{\text{a}}^2 + \textcolor{blue}{\text{b}}^2}$

Schau dir das mal an einem Beispiel an:

Du hast ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten

a2+b2=c2, a2 + b2 = c2, satz des pythagoras umstellen, a^2+b^2=c^2, a+b=c, satz des pythagoras, satz pythagoras — a²+b²=c² Beispiel 1

Die beiden Zahlen setzt du jetzt in die nach c umgestellte Formel ein:

$\textcolor{teal}{\text{c}} = \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 + \textcolor{blue}{4}^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \textcolor{teal}5$

2. Kathete $berechnen:$

Wenn du die Formel für die Kathete a haben willst, stellst du die Gleichung so um:

Schritt 1: Rechne auf beiden Seiten der Gleichung minus $:$

$\textcolor{red}{\text{a}}^2 + \textcolor{blue}{\text{b}}^2 = \textcolor{teal}{\text{c}}^2 \quad | \quad - \textcolor{blue}{\text{b}}^2$

$\textcolor{red}{\text{a}}^2 = \textcolor{teal}{\text{c}}^2 - \textcolor{blue}{\text{b}}^2$

Schritt 2: Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung:

$\textcolor{red}{\text{a}}^2 = \textcolor{teal}{\text{c}}^2 - \textcolor{blue}{\text{b}}^2\quad | \quad \sqrt{\:}$

$\textcolor{red}{\text{a}} = \sqrt{\textcolor{teal}{\text{c}}^2 - \textcolor{blue}{\text{b}}^2}$

Schau dir dazu wieder ein Beispiel an:

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 10 cm und der Kathete b

a2+b2=c2, a2 + b2 = c2, satz des pythagoras umstellen, a^2+b^2=c^2, a+b=c, satz des pythagoras, satz pythagoras — a²+b²=c² Beispiel 2

Die beiden Zahlen setzt du jetzt in die nach a umgestellte Formel ein: $\textcolor{red}{\text{a}} = \sqrt{\textcolor{teal}{10}^2 - \textcolor{blue}{8}^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = \textcolor{red}6$

3. Kathete $berechnen:$

Für die Kathete b stellst du die Gleichung ganz ähnlich um:

Schritt 1: Rechne auf beiden Seiten der Gleichung minus a $:$

$\textcolor{red}{\text{a}}^2 + \textcolor{blue}{\text{b}}^2 = \textcolor{teal}{\text{c}}^2 \quad | \quad - \textcolor{red}{\text{a}}^2$

$\textcolor{blue}{\text{b}}^2 = \textcolor{teal}{\text{c}}^2 - \textcolor{red}{\text{a}}^2$

Schritt 2: Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung:

$\textcolor{blue}{\text{b}}^2 = \textcolor{teal}{\text{c}}^2 - \textcolor{red}{\text{a}}^2\quad | \quad \sqrt{\:}$

$\textcolor{blue}{\text{b}} = \sqrt{\textcolor{teal}{\text{c}}^2 - \textcolor{red}{\text{a}}^2}$

Schau dir auch hierzu ein Beispiel an:

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen $und a .$

a2+b2=c2, a2 + b2 = c2, satz des pythagoras umstellen, a^2+b^2=c^2, a+b=c, satz des pythagoras, satz pythagoras — a²+b²=c² Beispiel 3

Die beiden Zahlen setzt du jetzt in die nach b umgestellte Formel ein:

$\textcolor{blue}{\text{b}} = \sqrt{ \textcolor{teal}{17}^2 - \textcolor{red}8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = \textcolor{blue}{15}$

Achtung: Einheiten beachten

Achte darauf, dass alle Seitenlängen in denselben Einheiten angegeben sind. Wenn nicht, musst du sie umrechnen .

Beispiel: Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten

Es gilt 0,09 m = 9 cm, da 100 cm ein Meter sind.

Also setzt du a = 9 und b = 12 in deine nach c umgestellte Formel ein:

$\textcolor{teal}{\text{c}} = \sqrt{\textcolor{red}{9}^2 + \textcolor{blue}{12}^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = \textcolor{teal}{15}}$

c ist also 15 cm lang.

a² + b² = c² — häufigste Fragen

Wie wende ich den Satz des Pythagoras an?
Du kannst den Satz des Pythagoras anwenden, um die Längen der Hypotenuse oder der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen. Dafür musst du die Formel entsprechend umstellen.
Wie stelle ich die Gleichung a² + b² = c² $um?$ Um die Gleichung a² + b² = c² umzustellen, isolierst du die Seite, die du berechnen willst:
– Für die Hypotenuse: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
– Für eine Kathete: ${a} = \sqrt{{c}^2 - {b}^2}$

Satz des Pythagoras Aufgaben

Jetzt weißt du, wie du die Formel a² + b² = c² umstellst, um die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen. Wenn du noch mehr Übungen zum Satz des Pythagoras suchst, schau hier rein.

Zum Video: Satz des Pythagoras Aufgaben

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