Spurpunkte
Du willst wissen, was die Spurpunkte einer Geraden sind und wie du sie ausrechnest? Dann ist dieser Beitrag und unser Video genau das Richtige für dich!
Inhaltsübersicht
Spurpunkte einfach erklärt
Ein Spurpunkt ist der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene. Je nach Koordinatenebene haben die Spurpunkte unterschiedliche Bezeichnungen:
- S1: Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene
- S2: Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene
- S3: Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene
Der Spurpunkt ist also der „Durchstoßpunkt“ der Gerade durch eine Koordinatenebene. Aber wie kannst du Spurpunkte einer Ebene berechnen?
Spurpunkte berechnen – Schritt für Schritt
Schau dir das am Beispiel dieser Geraden an:
![\[g: \, \overrightarrow{x} = \left(\begin{array} {c} \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{teal}{0} \\ \textcolor{blue}{6} \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array} {c} \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{teal}{5} \\ \textcolor{blue}{3} \end{array}\right) \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-588da830a6bb742c87aa558682d9a303_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dann berechnest du den Spurpunkt S1 so:
- Schritt 1: Setze die 1. Zeile der Geraden gleich 0.
4 + λ • (-1) = 0
- Schritt 2: Löse nach λ auf.
4 + λ • (-1) = 0 ⇒ λ = 4
- Schritt 3: Setze λ in die Geradengleichung ein. Das Ergebnis ist dein Spurpunkt.
![\[\overrightarrow{x} = \left(\begin{array} {c} 4 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right) + \textcolor{purple}{4} \cdot \left(\begin{array} {c} -1 \\ 5 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array} {c} 4 + \textcolor{purple}{4} \cdot (-1) \\ 0 + \textcolor{purple}{4} \cdot 5 \\ 6 + \textcolor{purple}{4} \cdot 3 \end{array}\right) = \textcolor{red}{\left(\begin{array} {c} 0 \\ 20 \\ 18 \end{array}\right)} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4f3b3fd47489f857da3c8029437a364f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Beim Spurpunkt S2 funktioniert das genauso:
- Schritt 1: Setze die 2. Zeile der Geraden gleich 0.
0 + λ • 5 = 0
- Schritt 2: Löse nach λ auf.
0 + λ • 5 = 0 ⇒ λ = 0
- Schritt 3: Setze λ in die Geradengleichung ein. Das Ergebnis ist dein Spurpunkt.
![\[\overrightarrow{x} = \left(\begin{array} {c} 4 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right) + \textcolor{purple}{0} \cdot \left(\begin{array} {c} -1 \\ 5 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array} {c} 4 + \textcolor{purple}{0} \cdot (-1) \\ 0 + \textcolor{purple}{0} \cdot 5 \\ 6 + \textcolor{purple}{0} \cdot 3 \end{array}\right) = \textcolor{teal}{\left(\begin{array} {c} 4 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right)} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5b4f679a29c35922a1087646066d61e6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ebenso kannst du den Spurpunkt S3 berechnen:
- Schritt 1: Setze die 3. Zeile der Geraden gleich 0.
6 + λ • 3 = 0
- Schritt 2: Löse nach λ auf.
6 + λ • 3 = 0 ⇒ λ = -2
- Schritt 3: Setze λ in die Geradengleichung ein. Das Ergebnis ist dein Spurpunkt.
![\[\overrightarrow{x} = \left(\begin{array} {c} 4 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right) + \textcolor{purple}{(-2)} \cdot \left(\begin{array} {c} -1 \\ 5 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array} {c} 4 + \textcolor{purple}{(-2)} \cdot (-1) \\ 0 + \textcolor{purple}{(-2)} \cdot 5 \\ 6 + \textcolor{purple}{(-2)} \cdot 3 \end{array}\right) = \textcolor{blue}{\left(\begin{array} {c} 6 \\ -10 \\ 0 \end{array}\right)} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3db4178c5f8741a6efb8f0c16b659d18_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Allgemein kannst du beim Spurpunkt berechnen so vorgehen:
-
Schritt 1: Setze die jeweilige Koordinate der Geraden gleich 0.
- für S1: erste Zeile = 0
- für S2: zweite Zeile = 0
- für S3: dritte Zeile = 0
- Schritt 2: Löse nach λ auf.
- Schritt 3: Setze λ in die Geradengleichung ein. Dein Ergebnis, ein Vektor, ist der Schnittpunkt mit einer Koordinatenebene, also dein Spurpunkt.
Parameterform von Ebenen
Super, jetzt weißt du, wie du Spurpunkte berechnen kannst! Spurpunkte einer Geraden geben dir sehr schnell die Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen an. Wenn Geraden andere Ebenen schneiden, brauchst du hingegen immer eine Ebenengleichung wie die Parameterform . Schau dir gleich unser Video dazu an!
