Wie berechne ich den Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene, wenn die Ebene nur durch 3 Punkte gegeben ist?

Den Abstand zwischen Gerade und Ebene berechnest du, indem du aus drei Punkten zuerst eine Ebenengleichung machst. Dazu setzt du und und bildest . Danach prüfst du . Dann gilt .

Wie bringe ich eine Ebene aus der Parameterform in eine Normalform, damit ich den Abstand mit der Hesseschen Normalform berechnen kann?

Eine Ebene in Parameterform bringst du in Normalform, indem du aus den Richtungsvektoren den Normalenvektor berechnest. Für ist . Dann lautet die Normalform . Für die Hessesche Normalform normierst du: , dann ist der Abstand .

Wie erkenne ich schnell, ob eine Gerade wirklich parallel zur Ebene ist, wenn die Ebene als Parameterform gegeben ist?

Ob eine Gerade parallel zur Ebene ist, erkennst du am schnellsten über den Normalenvektor der Ebene. Berechne bei zuerst . Dann ist die Gerade genau dann parallel zu , wenn .

Wie finde ich den Lotfußpunkt auf der Ebene, wenn ich den Abstand von der Geraden zur Ebene berechnet habe?

Den Lotfußpunkt auf der Ebene findest du, indem du von einem Punkt der Geraden in Normalenrichtung zur Ebene gehst. Nimm auf der Ebene und einen Normalenvektor . Dann ist und der Lotfußpunkt ist .

Wie berechne ich den Abstand, wenn die Gerade als Schnittgerade von zwei Ebenen gegeben ist?

Den Abstand berechnest du auch dann über einen Punkt der Schnittgeraden. Bestimme zuerst die Gerade : Der Richtungsvektor ist , einen Stützpunkt bekommst du durch Lösen von und . Danach prüfst du zur Zielebene : . Dann setzt du in ein.

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Abstand Gerade Ebene

Wichtige Inhalte in diesem Video

Abstand Gerade Ebene einfach erklärt

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Abstand Gerade Ebene berechnen

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Du fragst dich, wie du den Abstand von Gerade und Ebene berechnen kannst? Hier und in unsere Video erfährst du alles Wichtige dazu.

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Abstand Gerade Ebene einfach erklärt

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(00:12)

Der Abstand von zwei Objekten im Raum ist immer die kürzeste Entfernung zwischen ihnen. Deshalb kann der Abstand zwischen Gerade und Ebene drei Fälle haben:

Fall 1: Gerade g und Ebene E schneiden sich = der Abstand ist 0
Fall 2: Gerade g und Ebene E sind parallel, aber g liegt in E = der Abstand ist 0
Fall 3: Gerade g und Ebene E sind parallel, aber g liegt nicht in E = Abstand ist nicht 0

Den Abstand zwischen Gerade und Ebene kannst du nur berechnen, wenn beide Parallel zueinander sind :

abstand ebene gerade, abstand gerade ebene, abstand zwischen gerade und ebene, gerade ebene abstand — Ebene E und Gerade g sind parallel

Du berechnest dabei den Abstand zwischen der Ebene E zu einem beliebigen Punkt auf der Geraden g. Das machst du mit der Hesseschen Normalform .

Berechnung: Schritt für Schritt

Zur Berechnung sind eine Ebene E in Normalform und eine Gerade g gegeben:

E: 4x₁ + 4x₂ – 2x₃ = 4
g = $\vec{x}$ = $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 5 \end{array}\right)$ + r · $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$

Zur Berechnung des Abstands wählst du jetzt einen beliebigen Punkt auf der Geraden aus. Dazu eignet sich meistens der Stützpunkt der Geraden. Hier ist es P (2 | 3 | 5), den du jetzt in die Formel einsetzt:

Hessesche Normalform:

d(g; E) = d(P; E)= $\frac{\mid 4\cdot 2 + 4 \cdot 3 + (-2) \cdot 5 - 4\mid }{\sqrt{4^2+4^2+(-2)^2}} = \frac{6}{6} = 1$

➔ Die Gerade hat also von der Ebene den Abstand 1

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Abstand Gerade Ebene berechnen

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(01:46)

Beispiel 1:

Es sind wieder eine Ebene G und die Gerade k gegeben:

k = $\vec{x}$ = $\left(\begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right)$ + r · $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$
G: x₃ = 0
Untersuche vor der Berechnung die Parallelität der Ebene und der Geraden. Dazu multiplizierst du den Richtungsvektor der Geraden mit dem Normalenvektor der Ebene

$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ · $\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$ = 0 · 1 + 1 · 0 + 0 · 1 = 0 ✅
Zuletzt rechnest du mithilfe der Hesseschen Normalform den Abstand aus. Dazu wählst du einen beliebigen Punkt auf der Geraden und setzt ihn in die Formel ein. Hier eignet sich der Stützpunkt der Geraden P (5 | 3 | 4).

d(k; G) = d(P; G) = $\frac{\left| 0 \cdot 5 + 0\cdot 3 + 1\cdot 4 - 0\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\frac{4}{1}$ = 4

➔ Der Abstand von der Gerade k zu der Ebene G ist also 4.

Beispiel 2:

Es sind eine Ebene F und eine Gerade h gegeben. Die Ebene ist hier aber zuerst in Parameterform angegeben.

h: $\vec{x}$ = $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$ + r · $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right)$
F: $\vec{x}$ = $\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$ + r · $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right)$ + s · $\left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ -4 \end{array}\right)$
Forme sie also zuerst in die Koordinatenform um:
- Normalenvektor $\vec{n}$ = $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)$ x $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c} -4 \\ 32 \\ -20 \end{array}\right)$
- Also lautet der Ansatz für die Koordinatenform: F = -4x₁ + 32x₂ -20x₃ = d
- Um d zu berechnen, setzt du noch den Stützpunkt P (0 | 0 | 0) in die Ebene ein:
  
  (-4) · 0 + 32 · 0 +(-20) · 0 = 0
Jetzt kannst du die Parallelität der Ebene und der Geraden untersuchen:

$\left(\begin{array}{c} -4 \\ 32 \\ -20 \end{array}\right)$ · $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right)$ = (-4) · 2 + 32 · 4 + (-20) · 6 = -8 + 128 -120 = 0 ✅
Zuletzt bestimmst du den Abstand zu einem beliebigen Punkt, beispielsweise

P (1 | 2 | 3)
d(g; E) = d(P; E) = $\frac{\left|(-4) \cdot 1 + 32 \cdot 2 + (-20) \cdot 3 -0\right|}{\sqrt{(-4)^2+32^2+(-20)^2}}=\frac{0}{1440}$ = 0

➔ Aus dem Ergebnis d = 0 kannst du schließen, dass die Gerade h in der Ebene F liegt.

Das Wichtigste

Achte darauf, dass du vor der Berechnung die Gerade in Parameterform und die Ebene in Koordinatenform vorliegen hast.
Untersuche zuerst, ob die Ebene und die Gerade wirklich parallel zueinander sind. Wenn das nicht der Fall ist, schneiden sich die Beiden an einem Punkt und der Abstand ist automatisch 0.
Zuletzt berechnest du den Abstand von einem Punkt auf der Geraden zu der Ebene. Dazu brauchst du die Hessesche Normalform.

Übrigens: Alternativ kannst du den Abstand auch mit dem Lotfußpunktverfahren berechnen. Mehr dazu erfährst du hier !

Abstand Gerade Ebene — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie berechne ich den Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene, wenn die Ebene nur durch 3 Punkte gegeben ist?

Den Abstand zwischen Gerade und Ebene berechnest du, indem du aus drei Punkten zuerst eine Ebenengleichung machst. Dazu setzt du $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ und $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ und bildest $\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$ . Danach prüfst du $\vec{n}\cdot\vec{d}=0$ . Dann gilt $d=\frac{\left|\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{a})\right|}{\|\vec{n}\|}$ .
Wie bringe ich eine Ebene aus der Parameterform in eine Normalform, damit ich den Abstand mit der Hesseschen Normalform berechnen kann?

Eine Ebene in Parameterform bringst du in Normalform, indem du aus den Richtungsvektoren den Normalenvektor berechnest. Für $E:\vec{x}=\vec{x}_0+r\vec{u}+s\vec{v}$ ist $\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$ . Dann lautet die Normalform $\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{x}_0)=0$ . Für die Hessesche Normalform normierst du: $\vec{n}_0=\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}$ , dann ist der Abstand $d=\left|\vec{n}_0\cdot(\vec{p}-\vec{x}_0)\right|$ .
Wie erkenne ich schnell, ob eine Gerade wirklich parallel zur Ebene ist, wenn die Ebene als Parameterform gegeben ist?

Ob eine Gerade parallel zur Ebene ist, erkennst du am schnellsten über den Normalenvektor der Ebene. Berechne bei $E:\vec{x}=\vec{x}_0+r\vec{u}+s\vec{v}$ zuerst $\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$ . Dann ist die Gerade $g:\vec{x}=\vec{p}+t\vec{d}$ genau dann parallel zu , wenn $\vec{n}\cdot\vec{d}=0$ .
Wie finde ich den Lotfußpunkt auf der Ebene, wenn ich den Abstand von der Geraden zur Ebene berechnet habe?

Den Lotfußpunkt auf der Ebene findest du, indem du von einem Punkt der Geraden in Normalenrichtung zur Ebene gehst. Nimm $\vec{x}_0$ auf der Ebene und einen Normalenvektor $\vec{n}$ . Dann ist $t=\frac{\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{x}_0)}{\|\vec{n}\|^2}$ und der Lotfußpunkt ist $\vec{l}=\vec{p}-t\vec{n}$ .
Wie berechne ich den Abstand, wenn die Gerade als Schnittgerade von zwei Ebenen gegeben ist?

Den Abstand berechnest du auch dann über einen Punkt der Schnittgeraden. Bestimme zuerst die Gerade $g=E_1\cap E_2$ : Der Richtungsvektor ist $\vec{d}=\vec{n}_1\times\vec{n}_2$ , einen Stützpunkt bekommst du durch Lösen von und . Danach prüfst du zur Zielebene : $\vec{n}_E\cdot\vec{d}=0$ . Dann setzt du in $d=\frac{\left|\vec{n}_E\cdot(\vec{p}-\vec{x}_{0,E})\right|}{\|\vec{n}_E\|}$ ein.

Abstand Gerade Gerade

Prima! Du kannst den Abstand zwischen Ebene und Gerade berechnen! Willst du jetzt auch noch den Abstand zwischen Gerade und Gerade berechnen können? Schau dazu gleich in unser Video rein!