Gibt es einen Beweis für den Satz des Pythagoras über ähnliche Dreiecke, ohne Flächen zu zerlegen?

Ja, du kannst den Satz des Pythagoras mit ähnlichen Dreiecken beweisen, ohne Flächen zu zerlegen. Zeichne die Höhe vom rechten Winkel auf die Hypotenuse und nenne die Teilstücke und . Aus Ähnlichkeit folgt und . Daher gilt .

Wie kann ich den Satz des Pythagoras im Koordinatensystem nutzen, um die Entfernung zwischen zwei Punkten herzuleiten?

Die Entfernung zwischen zwei Punkten leitest du im Koordinatensystem mit dem Satz des Pythagoras her. Du bildest die Kathetenlängen und . Dann ist der Abstand . Konkret bedeutet das: Von nach gilt .

Wie berechne ich mit dem Satz des Pythagoras die Länge einer Raumdiagonale in einem Quader?

Die Raumdiagonale eines Quaders berechnest du mit zweimaligem Satz des Pythagoras. Zuerst berechnest du die Diagonale der Grundfläche . Danach rechnest du mit der Höhe weiter: . Zum Beispiel: , , ergibt .

Wie finde ich pythagoreische Zahlentripel wie 3-4-5 systematisch?

Pythagoreische Zahlentripel findest du systematisch mit der Euklid-Formel. Wähle ganze Zahlen und setze , und . Dann gilt automatisch . Konkret bedeutet das: Für und erhältst du . Mit einem Faktor bekommst du weitere Tripel .

Wie prüfe ich mit dem Satz des Pythagoras, ob ein Dreieck aus drei gegebenen Seitenlängen wirklich einen 90-Grad-Winkel hat?

Ob ein Dreieck rechtwinklig ist, prüfst du mit der Umkehrung des Satzes des Pythagoras. Sortiere die Seiten so, dass die längste Seite ist. Rechne dann und vergleiche mit . Gilt , dann ist der Winkel gegenüber von genau . Zum Beispiel: .

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Satz des Pythagoras Beweis

Wichtige Inhalte in diesem Video

Satz des Pythagoras — Aussage

(00:12)

Satz des Pythagoras — Einführung in den geometrischen Beweis

(01:05)

Satz des Pythagoras — geometrischer Beweis

(01:26)

Du möchtest wissen, wie du den Satz des Pythagoras beweisen kannst? Hier und im Video findest du einen geometrischen Beweis einfach und anschaulich erklärt.

Inhaltsübersicht

Satz des Pythagoras — Aussage

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(00:12)

Schau dir für den Beweis des Satz des Pythagoras zuerst nochmal an, was er genau aussagt.

Stell dir dazu ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen $, und vor. Die Seiten a und b sind dabei die beiden kürzeren Seiten (Katheten) und c ist die lange Seite gegenüber dem rechten Winkel (Hypotenuse). Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse ist. Die Formel dazu lautet$

$a 2$ + b²= c²

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Um diesen Satz zu beweisen, gibt es mehrere Möglichkeiten. Die einfachste ist der geometrische Beweis.

Satz des Pythagoras — Einführung in den geometrischen Beweis

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(01:05)

Stell dir jetzt vor, du schneidest aus einem Blatt Papier ein Quadrat mit der Seitenlänge c aus, das ist das Quadrat c². Dann schneidest du noch vier gleiche rechtwinklige Dreiecke ABC mit den Seitenlängen a, b und c aus.

An jede Seite von c² legst du dann eines der Dreiecke so, dass sich ein größeres Quadrat bildet. Das größere Quadrat hat dann die Seitenlänge a + b und sieht so aus:

Du kannst den Satz des Pythagoras jetzt beweisen, indem du den Flächeninhalt von dem großen Quadrat ausrechnest.

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Vertiefung: Warum hat sich wieder ein Quadrat gebildet?

Dass sich jetzt ein Quadrat gebildet hat, liegt an der Innenwinkelsumme. In einem Dreieck beträgt die Summe der Winkel nämlich 180°. Ein rechter Winkel hat 90°, also haben die Winkel $und zusammen auch 90° . Das ergibt dann zusammen mit dem rechten Winkel von dem Quadrat c 2 wieder 180° .$

Deswegen kannst du die Teile zu einem großen Quadrat zusammen setzen.

Satz des Pythagoras — geometrischer Beweis

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(01:26)

Du kannst jetzt den Flächeninhalt von dem großen Quadrat auf zwei verschiedene Arten ausrechnen:

Das Quadrat hat die Seitenlänge a + b. $Also kannst du seinen Flächeninhalt so ausrechnen: (a + b)² . Hier kannst du die erste binomische Formel anwenden, um die Klammer auszumultiplizieren:$
(a + b)² = a²+ 2ab + b²
Du kannst den Flächeninhalt aber auch berechnen, indem du die Flächen der einzelnen Teile, aus denen du das große Quadrat zusammengesetzt hast, zusammenrechnest.

Du addierst also die Fläche von c² und viermal die Fläche von deinem Dreieck ABC. Da dein Dreieck rechtwinklig ist, kannst du den Flächeninhalt eines der Dreiecke mit $\frac{\textbf{1}}{\textbf{2}}$ · a · b berechnen.

Also kannst du die Fläche von deinem großen Quadrat auch so berechnen: c²+ 4 · ( $\frac{\textbf{1}}{\textbf{2}}$ · a · b). Die Klammer kannst du auflösen, dann sieht die Formel so aus:

c²+ 4 · ( $\frac{\textbf{1}}{\textbf{2}}$ · a · b) = c²+ 4 · $\frac{\textbf{1}}{\textbf{2}}$ · a · b = c²+ 2ab

Jetzt hast du also zwei Formeln für den Flächeninhalt von dem großen Quadrat. Die kannst du jetzt gleichsetzen:

a²+ 2ab + b²= c²+ 2ab

Die Gleichung kannst du jetzt vereinfachen, indem du auf beiden Seiten der Gleichung 2ab abziehst.

a²+ 2ab + b²= c²+ 2ab | – 2ab

a²+ b²= c²Du siehst: Der Satz des Pythagoras bleibt übrig! Damit hast du ihn bewiesen.

Hier siehst du die beiden Varianten den Flächeninhalt zu berechnen nochmal als Bild:

Du erkennst an dem Bild nochmal gut: Beide Formeln beschreiben die gleiche Fläche.

Satz des Pythagoras Beweis — häufigste Fragen

(ausklappen)

Gibt es einen Beweis für den Satz des Pythagoras über ähnliche Dreiecke, ohne Flächen zu zerlegen?

Ja, du kannst den Satz des Pythagoras mit ähnlichen Dreiecken beweisen, ohne Flächen zu zerlegen. Zeichne die Höhe vom rechten Winkel auf die Hypotenuse und nenne die Teilstücke und . Aus Ähnlichkeit folgt $a^2 = c\cdot p$ und $b^2 = c\cdot q$ . Daher gilt $a^2 + b^2 = c\cdot(p+q) = c^2$ .
Wie kann ich den Satz des Pythagoras im Koordinatensystem nutzen, um die Entfernung zwischen zwei Punkten herzuleiten?

Die Entfernung zwischen zwei Punkten leitest du im Koordinatensystem mit dem Satz des Pythagoras her. Du bildest die Kathetenlängen $\Delta x = x_2-x_1$ und $\Delta y = y_2-y_1$ . Dann ist der Abstand $d = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ . Konkret bedeutet das: Von nach gilt $d=\sqrt{3^2+4^2}=5$ .
Wie berechne ich mit dem Satz des Pythagoras die Länge einer Raumdiagonale in einem Quader?

Die Raumdiagonale eines Quaders berechnest du mit zweimaligem Satz des Pythagoras. Zuerst berechnest du die Diagonale der Grundfläche $e=\sqrt{a^2+b^2}$ . Danach rechnest du mit der Höhe weiter: $d=\sqrt{e^2+c^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ . Zum Beispiel: $a=3\,\text{cm}$ , $b=4\,\text{cm}$ , $c=12\,\text{cm}$ ergibt $d=\sqrt{169\,\text{cm}^2}=13\,\text{cm}$ .
Wie finde ich pythagoreische Zahlentripel wie 3-4-5 systematisch?

Pythagoreische Zahlentripel findest du systematisch mit der Euklid-Formel. Wähle ganze Zahlen und setze , und . Dann gilt automatisch . Konkret bedeutet das: Für und erhältst du . Mit einem Faktor bekommst du weitere Tripel .
Wie prüfe ich mit dem Satz des Pythagoras, ob ein Dreieck aus drei gegebenen Seitenlängen wirklich einen 90-Grad-Winkel hat?

Ob ein Dreieck rechtwinklig ist, prüfst du mit der Umkehrung des Satzes des Pythagoras. Sortiere die Seiten so, dass die längste Seite ist. Rechne dann und vergleiche mit . Gilt , dann ist der Winkel gegenüber von genau $90\,°$ . Zum Beispiel: .