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Zusammengesetzte Körper

Um zusammengesetzte Körper berechnen zu können, musst du dich gut mit den Grundkörpern auskennen. Wie genau das geht, erfährst du hier .

Inhaltsübersicht

Zusammengesetzte Körper — einfach erklärt

Ein zusammengesetzter Körper ist ein Körper, der aus mindestens zwei zusammengesteckten einfachen Körpern besteht. Dazu zählen Würfel, Quader, Zylinder, Pyramiden und Kugeln.

Um das Volumen oder die Oberfläche von einem zusammengesetzten Körper zu berechnen, zerlegst du ihn in seine einzelnen Formen. Dann berechnest du die Größen für die einzelnen Körper, bevor du sie addierst. Es ist also wichtig, dass du die Formeln der einfachen Körper kennst.

Formeln der Grundkörper

Körper	Volumen	Oberfläche
Würfel		$O_W=6\cdot a^2$
Quader	$V_Q=l\cdot b\cdot h$	$O_Q=2\cdot a \cdot b+2\cdot a \cdot c + 2 \cdot b\cdot c$
Zylinder	$V_Z=r^2\cdto \pi \cdot h$	$O_Z=2 \cdot G + M$
Pyramide	$V_P=\frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h$
Kugel	$V_K=\frac {4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$	$O_K=4 \cdot \pi \cdot r^2$

Zusammengesetzte Körper — Volumen berechnen

Um das Volumen eines zusammengesetzten Körpers zu berechnen, musst du die einzelnen Bestandteile erkennen und ihre Volumenformeln wissen. Du berechnest dann die einzelnen Volumen und addierst sie schließlich. Schauen wir uns das anhand folgendem Beispiel an:

Angenommen, du hast ein Spielhaus. Die Wohnfläche des Hauses ist dabei ein Würfel und misst für jede Seite a 4 cm. Das Dach besteht aus einer Pyramide mit einer Höhe (h) von 6 cm, einer quadratischen Grundfläche (G) mit 4 cm für alle Seitenlängen und einer Seitenflächenhöhe (h_s) von 12 cm.

Spielhaus Volumen berechnen

Um das Volumen zusammengesetzter Körper zu berechnen, hast du zwei Möglichkeiten. Gehen wir beide für das Volumen des Spielhauses durch.

Volumen Spielhaus — erster Rechenweg

Beim ersten Weg gehst du wie folgt vor:

Zerlege den zusammengesetzten Körper in seine einfachen Bestandteile.
Das Spielhaus besteht aus zwei Körpern: einem Würfel und einer Pyramide.
Verwende die entsprechenden Formeln, um das Volumen jedes Einzelteils zu berechnen.
Dafür benötigst du folgende Fomeln:
$V_{\text{Würfel}}=a^3$
$V_{\text{Würfel}}=4^3$
$V_{\text{Würfel}}= 64 [cm^3]$

$V_{\text{Pyramide}}=\frac {1}{3} \cdot a^2 \cdot h$
$V_{\text{Pyramide}}=\frac {1}{3} \cdot 4^2 \cdot 6$
$V_{\text{Pyramide}}=\frac {1}{3} \cdot 16 \cdot 6$
$V_{\text{Pyramide}}=\frac {1}{3} \cdot 96$
$V_{\text{Pyramide}}= 32 [cm^3]$
Addiere die Volumina der Einzelteile, um das Gesamtvolumen zu erhalten.
$V_{\text{gesamt}}=V_{\text{Würfel}} + V_{\text{Pyramide}}$
$V_{\text{gesamt}}=64 + 32$
$V_{\text{gesamt}}=96 [cm^3]$

Das Spielhaus hat also ein Gesamtvolumen von 96 cm³.

Volumen Spielhaus — zweiter Rechenweg

Beim zweiten Weg berechnest du die Volumen der Teilkörper gleich gemeinsam. Du musst sie am Schluss also nicht nochmal addieren.

Zerlege den zusammengesetzten Körper in seine einfachen Bestandteile.
Das Spielhaus besteht aus zwei Körpern: einem Würfel und einer Pyramide.
Addiere die beiden Volumenformeln und berechne das Gesamtvolumen.
$V_{\text{gesamt}}=V_{\text{Würfel}} + V_{\text{Pyramide}}$
$V_{\text{gesamt}}=(a^3) + (\frac {1}{3} \cdot a^2 \cdot h)$
$V_{\text{gesamt}}=(4^3) + (\frac {1}{3} \cdot 4^2 \cdot 6)$
$V_{\text{gesamt}}=64 + (\frac {1}{3} \cdot 16 \cdot 6)$
$V_{\text{gesamt}}=64 + (\frac {1}{3} \cdot 96)$
$V_{\text{gesamt}}=64 + 32$
$V_{\text{gesamt}}=96 [cm^3]$

Auch über den zweiten Weg erhältst du für das Spielhaus ein Gesamtvolumen von 96 cm³. Es spielt also keine Rolle, welchen Weg du nimmst.

Wichtig: Der zweite Weg ist etwas genauer als der erste, da keine Rundungsfehler auftreten.

Zusammengesetzte Körper — Oberfläche berechnen

Auch um die Oberfläche von zusammengesetzten Körpern zu berechnen, siehst du dir zuerst an, aus welchen Einzelteilen er besteht.

Wichtig: Von der Gesamtoberfläche musst du die gemeinsame Fläche der beiden Körper abziehen! Das ist die Fläche, an der sich die Körper berühren. Sie zählt also nicht zur Oberfläche, sondern zum Innenraum.

Spielhaus Oberfläche berechnen

Wir betrachten wieder unser Beispiel von oben und folgen dem ersten Rechenweg. Du berechnest die Oberflächen der Einzelteile also nacheinander.

Zerlege den zusammengesetzten Körper in seine einfachen Bestandteile.
Das Spielhaus besteht aus zwei Körpern: einem Würfel und einer Pyramide.
Verwende die entsprechenden Formeln, um die Oberfläche jedes Einzelteils zu berechnen.
$O_{\text{Würfel}}=6 \cdot a^2$
$O_{\text{Würfel}}=6 \cdot 4^2$
$O_{\text{Würfel}}=6 \cdot 16$
$O_{\text{Würfel}}= 96 [cm^2]$

$O_{\text{Pyramide}}=G + M$
Um die Oberfläche der Pyramide zu berechnen, brauchst du die Größen G (Grundfläche) und M (Mantelfläche). Da du jedoch nur die Seitenlänge (a), die Höhe (h) und die Seitenflächenhöhe (h_s) gegeben hast, kannst du die Formel wie folgt umschreiben:


$M = n \cdot \frac {1}{2} \cdot a \cdot h_s$ .

n ist dabei die Anzahl der Ecken der Pyramide. Hier also 4. Die beiden Formeln setzt du nun anstelle von G und M in die Oberflächenformel der Pyramide ein. Dadurch erhältst du folgende Gleichung, mit der du nun die Oberfläche berechnen kannst:

$O_{\text{Pyramide}}=a^2 + n \cdot \frac {1}{2} \cdot a \cdot h_s$
$O_{\text{Pyramide}}=4^2 + 4 \cdot \frac {1}{2} \cdot 4 \cdot 12$
$O_{\text{Pyramide}}=16 + 4 \cdot \frac {1}{2} \cdot 48$
$O_{\text{Pyramide}}=16 + 4 \cdot 24$
$O_{\text{Pyramide}}=16 + 96$
$O_{\text{Pyramide}}=112[cm^2]$
Berechne die gemeinsame Fläche.
Um herauszufinden, wie groß die gemeinsame Fläche ist, schauen wir uns nochmal die Abbildung an.

Die Pyramide sitzt auf dem Würfel. Dabei berührt die obere Seite des Würfels die Grundfläche der Pyramide. Die gemeinsame Fläche beträgt also 2 · a².
$gemeinsame Fläche = 2 \cdot a^2$
$gemeinsame Fläche = 2 \cdot 4^2$
$gemeinsame Fläche = 2 \cdot 16$

Sie ziehst du nun von der Gesamtoberfläche ab.
Addiere die beiden Oberflächen und ziehe die gemeinsamen Flächen ab.
$O_{\text{gesamt}}=O_{text{Würfel}} + O_{text{Pyramide}} - gemeinsame Fläche$
$O_{\text{gesamt}}=96 + 112 - 32$
$O_{\text{gesamt}}=208 - 32$
$O_{\text{gesamt}}=176 [cm^2]$

Die Gesamtoberfläche des Spielhauses beträgt also 176 cm².

Du kannst die Oberfläche auch mithilfe des zweiten Wegs berechnen. Dafür sieht die Formel dann so aus:
$O_{\text{gesamt}}=O_{text{Würfel}} + O_{text{Pyramide}} - gemeinsame Fläche$
$O_{\text{gesamt}}=(6 \cdot a^2) +(a^2 + n \cdot \frac {1}{2} \cdot a \cdot h_s) - 2 \cdot a^2$

Zusammengesetzte Körper — häufigste Fragen

Was sind zusammengesetzte Körper?
Zusammengesetzte Körper bestehen aus mindestens zwei Grundkörpern. Ihr Volumen berechnet man, indem man die Volumen der einzelnen Körper summiert. Auch für die Oberfläche berechnet man zuerst die Oberfläche der einzelnen Körper und rechnet sie dann zusammen. Hier muss man noch die gemeinsame Fläche abziehen.
Wie berechnet man das Volumen eines Körpers?
Um das Volumen eines Körpers zu berechnen, nimmst du die Länge mal die Breite mal die Höhe des Körpers.
Wie berechne ich die Oberfläche von zusammengesetzten Körpern?
Man berechnet die Oberfläche von zusammengesetzten Körpern, indem man die Fläche der einzelnen Bestandteile summiert und davon die gemeinsame Fläche abzieht.

Geometrische Körper

Um einen zusammengesetzten Körper berechnen zu können, ist es hilfreich, wenn du dich gut mit geometrischen Körpern auskennst. Alles Wichtige über sie erfährst du hier!

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