Flächeninhalt Dreieck

Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen

Um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen, brauchst du zwei Größen: Die Grundseite und die Höhe des Dreiecks. 

Für die Grundseite wählst du eine beliebige Seite des Dreiecks aus, zum Beispiel die, die unten liegt. Die Höhe ist dann der Abstand von dieser Grundseite zu der gegenüberliegenden Ecke.

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Diese Linie muss im rechten Winkel zur Grundseite verlaufen. Wenn du diese beiden Größen kennst, kannst du den Flächeninhalt eines Dreiecks mit dieser Formel berechnen:

Flächeninhalt Dreieck berechnen — Beispiel

In einer Aufgabe, werden die Begriffe in der Formel oft abgekürzt:

• A = Flächeninhalt Dreieck
• g = Grundseite
• h = Höhe

Dann sieht deine Formel so aus:

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Wenn du dann zum Beispiel ein Dreieck mit der Grundseite g = 8 cm und der Höhe h = 5 cm hast, kannst du den Flächeninhalt in 4 Schritten berechnen:

1. Formel aufschreiben
   Als erstes schreibst du einmal die Formel mit den Abkürzungen auf:
    
   A = ½ • g • h
    
2. Werte einsetzen
   Dann setzt du die Werte aus der Aufgabe für die Abkürzungen ein. Hier ist die Grundseite g = 8 cm und die Höhe h = 5 cm. 
    
   A = ½ • g • h
   A = ½ • 8 cm • 5 cm
    
3. Ausrechnen
   Als nächstes rechnest du die Formel aus. 
    
   A = ½ • 8 cm • 5 cm = ½ • 40 cm² = 20 cm²
    
   Achtung: Wenn du die beiden Einheiten cm mulitplizierst, wird daraus cm².
    
4. Antwortsatz aufschreiben
   Zum Schluss musst du noch einen Antwortsatz aufschreiben. Den kannst du immer gleich formulieren:
    
   Antwort: Der Flächeninhalt von dem Dreieck beträgt 20 cm².

Flächeninhalt Dreieck mit unterschiedlichen Einheiten

Nicht in jeder Aufgabe hast du die Grundseite und die Höhe in der gleichen Einheit angegeben. Bei diesem Dreieck ist die Grundseite zum Beipsiel g = 4 m und die Höhe h = 900 cm.

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Um den Flächeninhalt zu berechnen, musst du dann erst eine der beiden Größen umrechnen. Die Formel kannst du nämlich nur verwenden, wenn beide Größen die gleiche Einheit haben. Rechne also als erstes die Höhe in Meter um:

900 cm = 9 m 

Dann kannst du wieder in die Formel benutzen:

1. Formel aufschreiben: A = ½ • g • h
2. Werte einsetzen: A = ½ • g • h = ½ • 4 m • 9 m
   
3. Ausrechnen: A = ½ • 4 m • 9 m = ½ • 36 m² = 18 m²
4. Antwortsatz aufschreiben: Der Flächeninhalt von dem Dreieck beträgt 18 m².

Sonderfall: Rechtwinkliges Dreieck

Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, also wenn einer der Winkel 90 ° beträgt, kannst du den Flächeninhalt etwas einfacher berechnen. Denn dann musst du nicht erst die Höhe messen. Stattdessen kannst du die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, als Grundseite und Höhe verwenden. Das sind die beiden kürzeren Seiten:

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Bei diesem Dreieck sind die beiden Seiten zum Beispiel 4 cm und 3 cm lang:

1. Formel aufschreiben: A = ½ • g • h
2. Werte einsetzen: A = ½ • g • h = ½ • 4 cm • 3 cm
   
3. Ausrechnen: A = ½ • 4 cm • 3 cm = ½ • 12 cm² = 6 cm²
4. Antwortsatz aufschreiben: Der Flächeninhalt von dem Dreieck beträgt 6 cm².

Flächeninhalt berechnen — Übungen

Damit du sicher im Umgang mit der Formel wirst, reche am besten selbst mal ein paas Flächeninhalte aus:

Aufgabe 1

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Lösung: Die Einheiten sind unterschiedlich. Rechne also die Höhe in cm um und wende die Formel an:

0,03 m = 3 cm

1. Formel aufschreiben: A = ½ • g • h
2. Werte einsetzen: A = ½ • g • h = ½ • 6 cm • 3 cm
3. Ausrechnen: A = ½ • 6 cm • 3 cm = ½ • 18 cm2 = 9 cm2
4. Antwortsatz aufschreiben: Der Flächeninhalt von dem Dreieck beträgt 9 cm².

Aufgabe 2

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Lösung: Das Dreieck hat einen rechten Winkel. Du kannst also die Längen der beiden kürzeren Seiten in die Formel einsetzten:

1. Formel aufschreiben: A = ½ • g • h
2. Werte einsetzen: A = ½ • g • h = ½ • 6 cm • 2 cm
3. Ausrechnen: A = ½ • 6 cm • 3 cm = ½ • 12 cm2 = 6 cm2
4. Antwortsatz aufschreiben: Der Flächeninhalt von dem Dreieck beträgt 6 cm².

Aufgabe 3

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Lösung:Hier kannst du als Grundseite die Seite links nehmen und die Höhe geht dann im rechten Winkel zu der gegenüberliegenden Ecke. Du setzt in die Formel also 6 cm und 9 cm ein:

1. Formel aufschreiben: A = ½ • g • h
2. Werte einsetzen: A = ½ • g • h = ½ • 6 cm • 9 cm
3. Ausrechnen: A = ½ • 6 cm • 3 cm = ½ • 54 cm2 = 27 cm2
4. Antwortsatz aufschreiben: Der Flächeninhalt von dem Dreieck beträgt 27 cm².

Flächeninhalt Dreieck — Formel umstellen

Es kann auch sein, dass du den Flächeninhalt von einem Dreieck gegeben hast und die Höhe oder die Länge der Grundseite gesucht berechnen musst. Dann kannst du auch die die Formel für den Flächeninhaltverwenden.

Beispiel: Sell dir vor der Flächeninhalt eines Dreiecks ist 12 cm² und die Höhe 4 cm. Um die Länge der Grundseite zu berechnen, gehst du dann wieder schrittweise vor. 

1. Formel aufschreiben: A = ½ • g • h
    
2. Werte einsetzen: 12 cm² = ½ • g • 4 cm 
    
3. Ausrechnen: Zum Ausrechnen musst du dann die Gleichung auflösen. Rechne dafür zuerste auf beiden Seiten mal 2 und dann geteilt durch 4. 
    
   12 cm² = ½ • g • 4 cm  | •2
   24 cm² = g • 4 cm  | ÷ 4 cm
   5 cm = g 
    
4. Antwortsatz aufschreiben: Die Grundseite ist  5 cm lang.

Du siehst also: Die Formel kann umgestellt werden! Allgemein sieht das dann so aus: 

Flächeninhalt Dreieck — Umgestellte Formel

Nach Grundseite: 

Nach Höhe: 

Übung — Formel umstellen

Versuch doch mal selbst, mit der umgestellten Formel die fehlenden Größe zu berechnen:

Stell dir vor, ein Dreieck hat einen Flächeninhalt von 12 cm². Die Grundseite des Dreiecks ist 4 cm lang, wie hoch ist es? 

Du kannst jetzt die umgestellte Formel für die Höhe nehmen: = h
Dort setzt du für A dann 12 cm² und für g = 4 cm. 
Du rechnest also = 6 cm
Das Dreieck ist also 6 cm hoch. 

Woher kommt die Formel?

Wenn du dich fragst, wo die Formel für den Flächeninhalt herkommt, schau dir mal dieses Bild an: 

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Du siehst: Das große gelbe Dreieck kann durch die Höhe h in zwei kleinere gelbe Dreiecke geteilt werden. 

An die beiden Dreiecke wird jeweils nochmal ein genau gleich großes grünes Dreieck drangesetzt, sodass alle Dreiecke zusammen ein Rechteck bilden.

Das große Rechteck hat jetzt einen doppelt so großen Flächeninhalt wie das große Dreieck.  

Du siehst auch: Es ist genauso hoch wie das gelbe Dreieck und genauso lang. 

Wie du den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnest, weißt du wahrscheinlich schon: A = g⋅h

Da das Rechteck einen doppelt so großen Flächeninhalt wie das Dreieck hat, kannst du den Flächeninhalt von dem Dreieck berechnen, indem du den des Rechtecks durch 2 teilst.

A =  

Und das ist auch schon die Formel für den Flächeninhalt von einem Dreieck! 

Umfang Dreieck

Jetzt weißt du schon, wie du den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest. Es kann aber auch sein, dass du den Umfang eines Dreiecks berechnen musst. Wie das geht, erfährst du hier !