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Kreisgleichung
In diesem Artikel erklären wir dir die Kreisgleichung und zeigen dir anhand eines Beispiels, wie du sie aufstellen kannst. Des Weiteren gehen wir mittels der Kreisfunktion auf die Lage von Punkten im Kreis und auf den Schnitt von Kreisen ein.
Du möchtest wissen, was die Kreisgleichung genau ist? Dann schau dir unser Video dazu an.
Inhaltsübersicht
Kreisgleichung einfach erklärt
Ein Kreis mit Radius und Mittelpunkt
ist allgemein als die Menge aller Punkte definiert, die den Abstand
zum Mittelpunkt
besitzen. Ein solcher Kreis beziehungsweise die Punkte auf dem Kreis lassen sich mit einer sogenannten Kreisgleichung beschreiben. Für diese gibt es zwei Arten der Darstellung:
Normalform:
Parameterform:
Kreisgleichung in Normalform
Die Kreisgleichung
beschreibt einen Kreis mit Radius um den Ursprung. Diese Formel ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras. Denn die Strecken der Ortskoordinaten
und
eines jeden Punktes
auf dem Kreis bilden zusammen mit dem Ortsvektor
ein rechtwinkliges Dreieck.
Kreisgleichung in Parameterform
Bei der Parameterdarstellung betrachtet man neben dem Radius noch einen weiteren Parameter, den Winkel . Dieser ermöglicht es uns die Koordinaten
und
unabhängig von einander anhand der sogenannten Polarkoordinaten
darzustellen:
Sie beschreiben einen Kreis mit Radius um den Ursprung (
und
). Um diese Darstellung zu verstehen, betrachten wir den Einheitskreis mit
. Zeichnet man den Ortsvektor
eines Punktes auf dem Einheitskreis, so beschreibt den Winkel, den dieser ausgehend von der positiven x-Achse gegen den Uhrzeigersinn zurücklegt. Mit
können wir nun den Ortsvektor
bestimmen, dessen Spitze auf dem Kreis mit Radius
um den Ursprung liegt.
gibt uns bereits die Richtung an, in welche der Vektor
zeigt. Damit die Spitze des Vektors
tatsächlich auf dem Kreis mit Radius
liegt, muss
entsprechend um den Faktor
gestreckt bzw. gestaucht werden. Das Ergebnis ist der gesuchte Ortsvektor
auf dem Kreis mit Radius
Kreisgleichung aufstellen
Im folgenden zeigen wir, wie du eine Kreisgleichung aufstellen kannst. Gegeben sei der Mittelpunkt eines Kreises, sowie ein Punkt
, welcher auf dem Kreis liegt. Bestimme nun seine Kreisgleichung in Normalform.
Wir haben die Koordinaten des Mittelpunktes und
bereits gegeben. Um die Gleichung aufstellen zu können, müssen wir daher lediglich den Radius
berechnen.
Wir wissen, dass ein Kreis mit Mittelpunkt und Radius
definiert ist als die Menge aller Punkte, welche den Abstand
zum Punkt
besitzen. Damit können wir
bestimmen, indem wir den Abstand des Punktes
, welcher auf dem Kreis liegt, zum Mittelpunkt
berechnen. Das heißt gesucht ist die Länge der Strecke
Wir berechnen also zunächst :
und anschließend die Länge des Vektors :
Damit ergibt sich schließlich der Radius . Setzt man nun
, sowie
und
in die Kreisgleichung ein, erhält man:
Kreisfunktion und Lage im Kreis
Wir wissen nun, was eine Kreisgleichung ist und wie sie aufgestellt wird. Jetzt können wir sie verwenden, um die Lage eines Punktes im Kreis zu untersuchen. Dafür betrachten wir die Kreisfunktion
eines Kreises mit Mittelpunkt . Der Kreis habe den Radius
.
Nun setzen wir den Punkt in die Kreisfunktion
ein, um herauszufinden, ob er innerhalb des Kreises, auf dem Kreis oder außerhalb des Kreises liegt. Gilt für die Funktion
so befindet sich der Punkt im Inneren des Kreises.
Ist hingegen
dann liegt der Punkt genau auf dem Kreis. Dementsprechend befindet sich der Punkt außerhalb des Kreises, wenn
Beispiel
Betrachten wir noch einmal unser Beispiel vom Aufstellen einer Kreisgleichung. Dort ist die Kreisfunktion durch
gegeben. Den Radius haben wir bereits bestimmt. Nun wollen wir die Lage des Punktes
untersuchen. Dafür setzen wir (3,-2) in die Kreisfunktion
ein:
Jetzt vergleichen wir dieses Ergebnis mit Es gilt
somit liegt der Punkt außerhalb des Kreises.
Schnittpunkt zweier Kreise
Wir wollen nun untersuchen, ob sich zwei Kreise schneiden und falls ja, wie viele Schnittpunkte es gibt. Dafür betrachten wir den Abstand der Mittelpunkte im Vergleich zur Summe der Radien.
Gegeben seien zwei Kreise mit Mittelpunkten und
und Radien
und
.
Der Abstand der Mittelpunkte wird folgendermaßen berechnet:
Nun vergleichen wir ihn mit der Summe der Radien: .
Ist der Abstand der Mittelpunkte größer als die Summe der Radien, also
dann schneiden sich die Kreise nicht.
Gilt Gleicheit, das heißt
dann besitzen die Kreise einen Berührpunkt.
Wenn hingegen die Summe der Radien größer ist als
dann besitzen die Kreise zwei Schnittpunkte.