Investition & Finanzierung

Black-Scholes-Modell

Inhaltsübersicht

Das Black-Scholes-Modell ist eine Methode zur Bewertung von Optionen. Im Unterschied zum Binomialmodell sind zum Ausübungszeitpunkt eine unendlich große Anzahl verschiedener Werte des Underyings möglich. Im folgenden Beitrag erklären wir dir das Black Scholes Modell genauer.

Black-Scholes-Modell Beispiel und Erklärung – Annahmen des Modells

Mit Hilfe des Modells nach Black Scholes schauen wir uns an, wie wir den fairen Wert von Puts und Calls nach Black and Scholes bestimmen. Der Zweck des Modells ist, verschiedene Optionen vergleichbar zu machen. Für das Black Scholes Modell müssen ein paar Annahmen vorliegen. Zunächst muss es sich um eine europäische Option handeln und der risikolose Zinssatz muss bekannt und für Kapitalanlage und -aufnahme gleich sein.

Black-Scholes-Modell
Black-Scholes-Modell

Außerdem finden während der Laufzeit der Option keine Dividendenzahlungen statt und es können Kredite in beliebiger Höhe aufgenommen werden. Europäische Option bedeutet, dass der Optionshalter sein Optionsrecht nur zu einem bestimmten Zeitpunkt, dem Ausübungs- oder auch Fälligkeitstag, wahrnehmen kann. Bei einer amerikanischen Option kann der Optionshalter sein Recht theoretisch jederzeit während der Laufzeit ausüben.

Black Scholes Formel: Call

Schauen wir uns zuerst die Bewertung eines Calls C an. Dazu sind ein paar Variablen gegeben: Zunächst einmal der Kurswert K des Underlying. Unter Underlying versteht man das Element, also zum Beispiel eine Aktie, die mit dem Optionsschein bezogen werden kann. Dann der Basispreis B, auch Strike oder Ausübungskurs genannt. Also im Falle eines Calls der Preis, zu dem du die Option kaufen kannst. Zusätzlich brauchen wir die Volatilität der Renditen des Underlyings \sigma_{r_{UND}}, den kontinuierlichen risikofreien Zins r_k,f und die Laufzeit T der Option in Jahren. Den Wert eines Calls bestimmen wir dann anhand dieser Formel:

C=K\ast N\left(d_1\right)-B\ast e^{{-r}_{k,f}\ast T}\ast N\left(d_2\right)

Der Call setzt sich dann aus n Aktien (K\ast N\left(d_1\right)) und beispielsweise einem Zerobond (B\ast e^{{-r}_{k,f}\ast T}\ast N\left(d_2\right)) zusammen. Um den Wert des Calls berechnen zu können, müssen wir also zunächst d_1 und d_2 bestimmen.

Black-Scholes-Modell Beispiel: Call

Schauen wir uns das mal an einem Beispiel an. K und B sind jeweils 110, die Volatilität ist gleich 35 Prozent und der kontinuierliche, risikofreie Zins ist gleich fünf Prozent. Die Laufzeit der Option beträgt ein Jahr. Während du die Formel zur Bestimmung eines Calls eventuell auswendig können musst, wird dir die Formel zur Bestimmung von d_1 gegeben sein:

d_1=\ \frac{\ln\funcapply(\frac{K}{B})+(r_{k,f}+\frac{\sigma_{r_{UND}}^2}{2})\ast T}{\sigma_{r_{UND}}\ast\sqrt T}

Wenn wir die gegebenen Werte einsetzen, bekommen wir als Ergebnis 0,3179. Diesen Wert suchen wir dann in der Verteilungsfunktion, die dir gegeben ist. Der nächstmögliche Wert bei Rundung ist dann 0,32. Der korrespondierende Wert in der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist dann 0,6255.

Black-Scholes-Modell: Call
Black-Scholes-Modell: Call

Wenn du d_1 berechnet hast, dann lässt sich d_2 ebenfalls problemlos berechnen. d_1 und d_2 stehen nämlich in folgendem Zusammenhang:

d_2=\ d_1-\sigma_{r_{UND}}\ast\sqrt{T}

Achte dabei allerdings darauf den genauen Wert von d_1 und nicht den entsprechenden Wert aus der Verteilungsfunktion einzusetzen. Eingesetzt ergibt sich für d_2 der Wert 0,0321. Negative Werte kannst du nicht direkt aus der Verteilungsfunktion ablesen. Du musst also N(d_2)=N\left(-0,0321\right) umschreiben zu 1-N(0,0321). Jetzt suchst du in der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung nach dem Wert 0,0321. Der korrespondierende Wert ist 0,5120. Diesen ziehen wir von 1 ab und erhalten als Lösung für unser d_2 0,488.

Black Scholes Formel: Wert Call
Black Scholes Formel: Wert Call

Der Wert des Calls lässt sich dann dementsprechend durch Einsetzen der Werte von d_1 und d_2 in die Black Scholes Formel bestimmen. Der Wert deines Calls in t=0 beträgt also 17,74 Euro. Wie du siehst, musst du bei einer solchen Aufgabenstellung eigentlich nur wissen, wo du welche Werte einsetzt und wie du die Werte richtig aus der Verteilungsfunktion abliest.

Black Scholes Formel: Put

Für einen Put verhält es sich quasi genauso. d_1 und d_2 werden mit den gleichen Formeln bestimmt wie beim Call.Bei der Berechnung des Puts werden lediglich die Terme vertauscht. Jetzt werden die Aktien also vom Zerobond abgezogen.

P=B\ast e^{{-r}_{k,f}\ast T}\ast N\left(-d_2\right)-K\ast N\left({-d}_1\right)

Black and Scholes Put Formel
Black and Scholes Formel: Put

Generell ist bei Optionen wichtig, dass du dir immer darüber bewusst bist, dass eine Option immer ein Recht und keine Pflicht ist. Du kaufst dir als Optionshalter das Recht ein, eine Option zu ziehen oder sie verstreichen zu lassen, je nachdem wie sich der Kurs eben entwickelt. Dafür musst du dem Stillhalter, also der anderen Partei eine Prämie bezahlen. Sonst würde so ein Geschäft ja niemand eingehen wollen. Dein möglicher Verlust beschränkt sich also auf die gezahlte Prämie. Nämlich dann, wenn du die Option verstreichen lässt. Der Stillhalter hingegen kann einen Verlust machen, der theoretisch bis ins Unendliche geht. Nämlich dann, wenn er dir die Option zum Preis P verkaufen muss, der tatsächliche Wert der Option aber deutlich höher ist und immer weiter ansteigt.


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