Investition & Finanzierung

Value at Risk

Der Value at Risk oder kurz VaR, ist ein zentrales Risikomaß zur Bestimmung des höchsten zu erwartenden Verlustes. Im Folgenden erklären wir die Definition, die Formel und gehen auf die Berechnung mit einem Beispiel.

Du willst das Thema auf Anhieb gut verstehen? Dann schau dir unser Video an! Denn hier haben wir alles Schritt für Schritt erklärt.

Inhaltsübersicht

Value at Risk einfach erklärt

Value at Risk (oder auch VaR) ist ein strategisches Modell, mit dem man Risiken auf finanziellen Märkten, also Marktpreisrisiken messen kann.

Definition

Der Value at Risk beschreibt den maximal zu erwartenden Wertverlust eines Portfolios, der mit der Wahrscheinlichkeit 1-\alpha innerhalb einer Halteperiode, unter den üblichen Marktbedingungen nicht überschritten wird.

Es existieren allerdings verschiedene Risikoarten. Das Risiko, das für Investitionen besonders relevant ist, ist das Marktpreisrisiko. Dieses bezeichnet das Risiko eines Verlustes, der sich ergeben kann, weil sich die Marktpreise verändern. Es ist auch unter dem Begriff Marktrisiko bekannt.

Konfidenzniveau, Marktpreisrisiko, Value at Risk
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Value at Risk Definition

Konfidenzniveau bestimmen

Um den Value at Risk berechnen zu können, müssen wir uns noch kurz mit dem Konfidenzniveau beschäftigen. 1-\alpha ist das spezifizierte Konfidenzniveau, das in der Regel zwischen 90\% und 99,9\% liegt. Das Konfidenzniveau besagt, mit welcher Wahrscheinlichkeit unser berechneter Wert zutreffend ist. Das heißt also, wenn wir ein \alpha von 5\% haben, beträgt unser spezifiziertes Konfidenzniveau 1-5\%=95\%. Unser Value at Risk wird also in diesem Fall mit der Wahrscheinlichkeit von 95\% in unserer Halteperiode nicht überschritten. Was ist eine Halteperiode, fragst du dich jetzt? Das ist einfach nur der festgelegte Zeitraum, für den wir unseren VaR berechnen.

Konfidenzniveau, Marktpreisrisiko, Value at Risk
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Konfidenzniveau

Meistens kaufen Anleger, die viel investieren, heutzutage Portfolios. Denn wenn man mehrere Aktien zusammenlegt, die nicht vollständig positiv korreliert sind, kann sich dadurch das Gesamtrisiko reduzieren! Das nennt man auch Diversifikation. Schauen wir uns die Value at Risk Berechnung also am Beispiel eines Portfolios an.

Value at Risk berechnen

Angenommen du besitzt folgendes Portfolio:

  • Der Marktwert P_p beträgt 500.000
  • Das Konfidenzniveau ist 1-\alpha=95\%
  •  Die Halteperiode entspricht einem Tag.
  • Das Portfolio besteht aus drei Aktien.
  • Die Renditen sind multivariate Normalverteilt – das heißt, alle Aktien sind normalverteilt, haben also einen Erwartungswert und man kann ihre Varianz berechnen.
  • \mu_{rp}=\ 17\% der Erwartungswert des Portfolios ist
  • Die Standardabweichung \sigma_{rp}=35\% beträgt.

Was ist der Value at Risk? Um diesen zu berechnen brauchen wir zuerst die Formel dazu.

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Value at Risk berechnen

Value at Risk Formel

Die Formel für den Value at Risk lautet:

{\rm VaR}_p=-\left(\mu_{rp}+z_\alpha*\sigma_{rp}\right)\ast\ P_p

Dabei steht

  • z_\alpha steht für das \alpha-Quantil der Standardnormalverteilung,
  • \mu_{rp} für den Erwartungswert unserer Portfoliorenditen,
  •  \sigma_{rp}für die Standardabweichung unserer Portfoliorenditen.

Du hast bestimmt schon einmal die Dichtefunktion der Normalverteilung gesehen. Wenn nicht bewusst, dann bestimmt unbewusst, denn sie ist auch unter dem Namen Gaußkurve bekannt und unter anderem auf dem alten Zehn-Markschein zu sehen. Was wir hier berechnen, ist quasi die Fläche unter der Kurve, die genau 5\% beträgt. Wir sehen, bei welchem Wert die Abgrenzungslinie der Fläche die x-Achse schneidet. Das ist dann unser Value at Risk.

Value at Risk berechnen Schritt für Schritt

Zur Vereinfachung nehmen wir in unserem Beispiel an, dass \mu_{rp}=\ 17\% ist und \sigma_{rp}=35\%. Am häufigsten wird mit einem Alpha von 5\% oder 1\%, also einem Konfidenzniveau von 95\% oder 99\% gerechnet. Um die \alpha-Quantile der Standardnormalverteilung zu erhalten, gehst du nun folgendermaßen vor: Zuerst nimmst du die Verteilungstabelle der Standardnormalverteilung zu Hilfe.

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Varianz-Kovarianz-Methode

Dort suchst du einfach nach dem gewünschten Konfidenzniveau, in unserem Fall die 95\%, also den Wert 0,95. In den meisten Fällen wirst du das Konfidenzniveau nicht genau finden. Daher suchst du einfach die beiden Werte, die deinem Konfidenzniveau am nächsten sind und nimmst dann den Mittelwert der beiden. In unserem Beispiel wären das die Werte 0,9495 und 0,950, also ein z in Höhe von 1,64 und 1,65. Damit erhalten wir für die \alpha-Quantile: z_{5\%}= -1,645 und z_{1\%}=-2,325.

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Vorgehen der Berechnung des VaR

Der letzte Schritt ist simpel. Wir setzen nun alles in die Value at Risk Formel ein und erhalten als Ergebnis für die Value at Risk Berechnung 202.875 Euro.

{\rm VaR}_p=-((0,17 + (-1,645)\cdot 0,35) \cdot 500.000

Das heißt folglich: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95\% überschreitet der Verlust unseres Portfolios nicht mehr als 202.875 Euro bis zum nächsten Tag.

Geschafft! Jetzt weißt du bestens Bescheid über den Value at Risk Bescheid und kannst ihn für dein nächstes Portfolio ganz einfach selbst berechnen.

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