Algebra
Lösungsformeln für quadratische Gleichungen
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Mitternachtsformel einfach erklärt

Die Mitternachtsformel ist eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen der Form ax2 + bx + c = 0. Die drei Zahlen, die an den Stellen von a, b und c stehen, setzt du einfach in die Formel ein.

Mitternachtformel

x_{1,2} = \cfrac{- \textcolor{blue}{b} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b}^2-4\textcolor{red}{a} \textcolor{olive}{c}}}{2 \textcolor{red}{a}}

  • a ist die Zahl vor dem x2
  • b ist die Zahl vor dem x
  • c ist die Zahl ohne x

Das ± heißt, dass du zweimal rechnest: einmal mit dem + vor der Wurzel und einmal mit dem  vor der Wurzel. Oft hast du also zwei Lösungen

Aufgepasst! Wenn unter der Wurzel eine negative Zahl rauskommt, hat die Gleichung überhaupt keine Lösung!

Mitternachtsformel Beispiel

Mit der Mitternachtformel%KW kannst du also Gleichungen mit x hoch 2 auflösen. Schau dir ein Beispiel dazu an:

\textcolor{red}{2}x^2+\textcolor{blue}{6}x + \textcolor{olive}{4}

  • Schritt 1: Bestimme a, b und c.

a = 2, b = 6 und c = 4

  • Schritt 2: Setze a, b und c in die Mitternachts Formel ein.

x_{1,2} = \cfrac{- \textcolor{blue}{6} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{6}^2-4\cdot \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{olive}{4}}}{2 \cdot \textcolor{red}{2}} = \cfrac{-6 \pm \sqrt{4}}{4} = \cfrac{-6 \pm 2}{4}

  • Schritt 3: Rechne die Lösung einmal mit + und einmal mit  aus.

Lösung mit „+„:    x_1 = \cfrac{-6 \boldsymbol{+} 2}{4} = -1

Lösung mit „„:    x_2 = \cfrac{-6 \boldsymbol{-} 2}{4} = -2

Die beiden Lösungen der Gleichung sind also x1 = -1 und x2 = -2.

a, b und c bestimmen

Manchmal kannst du a, b und c für die Lösungsformel nicht so einfach ablesen. Dann helfen dir folgende Regeln:

  • Wenn vor x2 oder x keine Zahl steht ⇒ a = 1 oder b = 1

x2 + 2x – 1 ⇒ a = 1, b = 2, c = -1

  • Wenn vor x2 oder x nur ein Minus steht⇒ a = -1 oder b = -1

3x2–  x – 1 ⇒  a = 3, b = -1, c = -1

  • Wenn es keine Zahl ohne x gibt ⇒ c = 0

3x2 – x ⇒  a = 3, b = -1, c = 0

Mitternachtsformel Übungen: Gleichung mit einer Lösung

Schau dir noch weitere Mitternachtsformel Übungen an. Du willst folgende Gleichung mit x hoch 2 auflösen: \textcolor{red}{\frac{1}{3}} x^2\textcolor{blue}{-2}x+\textcolor{olive}{3} =0 

  • Schritt 1: Bestimme a, b und c (auf negative Vorzeichen achten!).

 a = 1/3, b = 2 und c = 3

  • Schritt 2: Setze die Zahlen in die Lösungsformel für die quadratische Gleichung ein.

x_{1,2} = \cfrac{- \textcolor{blue}{(-2)} \pm \sqrt{\textcolor{blue}{(-2)}^2-4\cdot \textcolor{red}{\frac{1}{3}} \cdot \textcolor{olive}{3}}}{2 \cdot \textcolor{red}{\frac{1}{3}}} = \cfrac{2 \pm \sqrt{4-4}}{\frac{2}{3}} = \cfrac{2 \pm 0}{\frac{2}{3}}

  • Schritt 3: Unter der Wurzel steht eine 0. Deshalb gibt es nur eine Lösung. Du kannst also mit + oder mit – weiterrechnen — es kommt bei beidem das Gleiche heraus.

\cfrac{2 + 0}{\frac{2}{3}} = 3

Die Lösung der quadratischen Gleichung ist also x = 3

Mitternachtsformel Übungen: Gleichung ohne Lösung

Löse x^2+\textcolor{blue}{4}x+\textcolor{olive}{10}=0.

  • Schritt 1: Bestimme a, b und c.

a = 1, b = 4 und c = 10

  • Schritt 2: Setze die Zahlen in die Lösungsformel für die quadratische Gleichung ein.

x_{1,2} = \cfrac{-\textcolor{blue}{4}\pm \sqrt{\textcolor{blue}{4}^2-4\cdot \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{olive}{10}}}{2\cdot \textcolor{red}{1}} = \cfrac{-4\pm \sqrt{16-40}}{2} = \cfrac{-4\pm \sqrt{-24}}{2}

Unter der Wurzel steht eine negative Zahl. Deshalb hat die quadratische Gleichung keine Lösung.

Merke: Anzahl der Lösungen
  • Unter der Wurzel positive Zahlzwei Lösungen
  • Unter der Wurzel 0eine Lösung
  • Unter der Wurzel negative Zahlkeine Lösung

Den Teil unter der Wurzel nennst du übrigens auch Diskriminante

Mitternachtsformel Beispiel: Gleichung umstellen

Wenn auf keiner Seite der Gleichung eine 0 steht, musst du die Gleichung zuerst umstellen. Schau dir ein Beispiel an:

\textcolor{red}{\frac{1}{2}}x^2+\textcolor{olive}{30} = \textcolor{blue}{8}x

Hier bringst du die 8x zuerst auf die andere Seite. 

    \begin{align*} \textcolor{red}{\frac{1}{2}}x^2+\textcolor{olive}{30} &= \textcolor{blue}{8}x \qquad |-\textcolor{blue}{8}x \\ \textcolor{red}{\frac{1}{2}}x^2 \textcolor{blue}{-8x}+ \textcolor{olive}{30} &= 0 \end{align*}

Das löst du dann wie vorher mit der Mitternachts Formel.

Mitternachtsformel – kurz & knapp

Mit der Mitternachtsformel kannst du die Lösung von quadratischen Gleichungen (ax2 + bx + c = 0) berechnen. 

  • Schritt 1: Bestimme a, b und c.
  • Schritt 2: Setze a, b und c in die Mitternachts Formel ein.
  • Schritt 3: Rechne die Lösung einmal mit + und einmal mit  aus.

Expertenwissen: Mitternachtsformel Herleitung

Hinweis: Noch mehr Details erfährst du in unserem Experten-Video zur Mitternachtsformel

Für die Mitternachtsformel Herleitung löst du nur die allgemeine quadratische Gleichung nach x auf. 

    \begin{align*} ax^2+bx+c&=0 \enspace &|& -c \\ ax^2+bx&=-c \enspace &|& : a \\ x^2+\cfrac{b}{a}x &= -\cfrac{c}{a} \end{align*}

Um an dieser Stelle weiterrechnen zu können, benötigst du die quadratische Ergänzung der linken Seite. 

x^2+\frac{b}{a}x +\left(\frac{b}{2a}\right)^2= -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2

x^2+\frac{b}{a}x +\left(\frac{b}{2a}\right)^2= -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}

Die rechte Seite fasst du für die Mitternachtsformel Herleitung%Keyword -- die Herleitung liest sich eh keiner durch noch weiter zusammen, indem du -\frac{c}{a} mit 4a erweiterst und die Terme dann auf einen Bruchstrich schreibst. 

x^2+\cfrac{b}{a}x +\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2=   \cfrac{b^2-4ac}{4a^2}

Auf der linken Seite hält sich eine binomische Formel versteckt, sodass du diesen Term auch umformen kannst zu

\left(x+\cfrac{b}{2a}\right)^2=   \cfrac{b^2-4ac}{4a^2}.

Davon ziehst du nun die Wurzel und erhältst

x+\cfrac{b}{2a} =\pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}

Vereinfachen und Subtraktion von \frac{b}{2a} ergibt schon fast die quadratische Formel (Mitternachtsformel):

x = -\cfrac{b}{2a}\pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}

x = -\cfrac{b}{2a}\pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\Rightarrow x_{1,2} = \cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Merke: Dass wir stattdessen x_1 und x_2 und \pm schreiben, sorgt dafür, dass du die zweite Lösung nicht vergisst!

pq Formel

Bei manchen quadratischen Gleichungen ist es einfacher, die pq Formel zu verwenden. Schau dir gleich unser Video dazu an, um zu verstehen, wie sie funktioniert!

Zum Video: pq Formel
Zum Video: pq Formel

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