Höhere Mathematik

Partielle DGL

Du möchtest wissen, was eine partielle Differentialgleichung ist? Dann bist du hier genau richtig! Im folgenden erklären wir dir diese besondere Form der Differentialgleichungen.

Partielle Differentialgleichung Definition und Abgrenzung zu gewöhnlichen Differentialgleichungen

Wie du weißt, hängt bei gewöhnlichen Differentialgleichungen die unbekannte Funktion y nur von einer Variablen x ab, zum Beispiel von einem Ort. Jetzt kann es aber sein, dass dich ein Zustand y nicht nur für verschiedene Orte, sondern auch für unterschiedliche Zeitpunkte interessiert. Dafür brauchst du partielle Differentialgleichungen, in denen y eine Funktion mehrerer Variablen ist und auch nach mehreren Variablen partiell abgeleitet wird.

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Partielle Differentialgleichung

Partielle Differentialgleichung Aufbau und Formel

Eine partielle Differentialgleichung für y(x_1,\ x_2), also für zwei Variablen, sieht dann so aus:

{F}}\left(x_1,\ x_2,{y}\left(x_1,x_2\right),\frac{\partial\y(x_1,y_2)}{\partial x_1},\frac{\partial\y(x_1,x_2)}{\partial x_2},\frac{\partial^2\y\left(x_1,x_2\right)}{\partial x_1\partial x_2},\ldots\right)={0}}

Hier ist F eine Funktion von x1, x2, y und den partiellen Ableitungen nach x1 und x2. Partielle Ableitungen zweiter Ordnung können zweite Ableitungen nach ein- und derselben Variable sein wie:

\frac{\partial^2\mathbit{y}\left(x_1,x_2\right)}{\partial x_1^2}

oder gemischte Ableitungen nach verschiedenen Variablen, so wie:

\frac{\partial^2y\left(x_1,x_2\right)}{\partial x_1\partial x_2}

Natürlich kann y auch eine Funktion von n Variablen x1, x2, …, xn sein:

{y}}\left(x_1,\ x_2,\ldots,x_n\right)

Dann sieht die DGL so aus:

{F}}\left(x_1,\ x_2,\ \mathbit{y},\frac{\partial\mathbit{y}}{\partial x_1},\frac{\partial\mathbit{y}}{\partial x_2},\ldots,\frac{\partial\mathbit{y}}{\partial x_n},\frac{\partial^2\mathbit{y}}{\partial x_1^2},\ \frac{\partial^2\mathbit{y}}{\partial x_1\partial x_2},\ldots\right)={0}}

Aus Übersichtsgründen haben wir die Abhängigkeiten in Klammern weggelassen.

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Partielle Differentialgleichung

Partielle DGL Beispiel: eindimensionale Transportgleichung

Zu guter Letzt noch ein Beispiel: die eindimensionale Transportgleichung

\partial_tc\left(x,t\right)+v\left(x,t\right)\partial_xc\left(x,t\right)=0

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Partielle Differentialgleichung Beispiel

Diese Gleichung beschreibt den Transport eines Stoffes mit Konzentration c(x, t) in einer inkompressiblen Flüssigkeit mit Strömungsgeschwindigkeit v(x, t). x gibt den Ort und t die Zeit an.

Du hast partielle Differentialgleichungen kennengelernt und das Beispiel der Transportgleichung gesehen.

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