Was ist der Unterschied zwischen der Ordnung und dem Grad einer Differentialgleichung?

Die Ordnung einer Differentialgleichung ist die höchste Ableitung, die vorkommt, zum Beispiel ist bei die Ordnung 2. Der Grad beschreibt, mit welcher Potenz die höchste Ableitung eingeht, nachdem alles als Polynom in den Ableitungen geschrieben ist, zum Beispiel hat Grad 2.

Woran erkenne ich, ob eine Differentialgleichung gewöhnlich oder partiell ist?

Eine Differentialgleichung ist gewöhnlich, wenn die unbekannte Funktion nur von einer Variablen abhängt und nur Ableitungen wie vorkommen. Sie ist partiell, wenn die Funktion von mehreren Variablen abhängt und partielle Ableitungen wie oder auftauchen. Zum Beispiel ist eine PDE.

Wie bestimme ich die Ordnung, wenn in der Differentialgleichung Ableitungen nach verschiedenen Variablen vorkommen?

Die Ordnung ist dann die höchste Ableitungsordnung, die irgendwo als partielle Ableitung vorkommt, unabhängig davon, nach welcher Variablen abgeleitet wird. Zum Beispiel ist eine Gleichung 2. Ordnung wegen . Auch eine gemischte Ableitung wie zählt als 2. Ordnung.

Was bedeutet es, wenn eine Differentialgleichung linear oder nichtlinear ist?

Eine Differentialgleichung ist linear, wenn die unbekannte Funktion und alle ihre Ableitungen nur in der 1. Potenz vorkommen und nicht miteinander multipliziert werden. Erlaubt sind Koeffizienten, die von der unabhängigen Variable abhängen. Zum Beispiel ist linear, aber ist nichtlinear.

Wie komme ich aus einem physikalischen Modell wie Feder Masse Dämpfer oder einem Stromkreis auf die passende Differentialgleichung?

Aus einem physikalischen Modell leitest du eine Differentialgleichung ab, indem du eine Zustandsgröße wählst und Grundgesetze als Bilanz aufschreibst. Beim Feder-Masse-Dämpfer gilt Kraftbilanz: (Trägheit = Summe der Kräfte). Im Stromkreis nutzt du Kirchhoff und Bauteilgesetze, zum Beispiel und , und setzt sie zu einer Gleichung zusammen.

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DGL 1. & 2. und höherer Ordnung

Differentialgleichungen lassen sich nach ihrem Grad ordnen. So spricht man von Differentialgleichungen erster, zweiter und n-ter Ordnung. Was es mit diesen Begriffen genau auf sich hat, lernst du hier!

Inhaltsübersicht

Differentialgleichungen erster, zweiter und höherer Ordnung Definition und Beispiele

Schauen wir uns zu Beginn nochmal die allgemeine Formel der gewöhnlichen Differentialgleichung an:

${F}}\left(x,{y}\left(x\right),{y}^\prime\left(x\right),\ldots,{y}^{\left(n\right)}\left(x\right)\right)={0}}$

Dabei bestimmt die höchste vorkommende Ableitung n die Ordnung der DGL.

Differentialgleichung 2. Ordnung Beispiel: Feder-Masse-Dämpfer-System

Ein Beispiel für gewöhnliche Differentialgleichungen ist das Feder-Masse-Dämpfer-System. Hier gibt k die Federsteifigkeit an, d die Dämpferkonstante und m die Masse. In der DGL kommen die Position x, die Geschwindigkeit $\dot{x\ }$ und die Beschleunigung $\ddot{x\ }$ vor.

Differentialgleichung, DGL — DGL 1. & 2. & höherer Ordnung

Von diesen ist die zweite Ableitung von x, also $\ddot{x\ }$ , die höchste vorkommende Ableitung. Somit ist es eine DGL zweiter Ordnung.

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Differentialgleichungen erster, zweiter und höherer Ordnung — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist der Unterschied zwischen der Ordnung und dem Grad einer Differentialgleichung?

Die Ordnung einer Differentialgleichung ist die höchste Ableitung, die vorkommt, zum Beispiel ist bei die Ordnung 2. Der Grad beschreibt, mit welcher Potenz die höchste Ableitung eingeht, nachdem alles als Polynom in den Ableitungen geschrieben ist, zum Beispiel hat Grad 2.
Woran erkenne ich, ob eine Differentialgleichung gewöhnlich oder partiell ist?

Eine Differentialgleichung ist gewöhnlich, wenn die unbekannte Funktion nur von einer Variablen abhängt und nur Ableitungen wie $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ vorkommen. Sie ist partiell, wenn die Funktion von mehreren Variablen abhängt und partielle Ableitungen wie $\frac{\partial u}{\partial t}$ oder $\frac{\partial u}{\partial x}$ auftauchen. Zum Beispiel ist $u_t = c^2 u_{xx}$ eine PDE.
Wie bestimme ich die Ordnung, wenn in der Differentialgleichung Ableitungen nach verschiedenen Variablen vorkommen?

Die Ordnung ist dann die höchste Ableitungsordnung, die irgendwo als partielle Ableitung vorkommt, unabhängig davon, nach welcher Variablen abgeleitet wird. Zum Beispiel ist $u_t + u_{xx} = 0$ eine Gleichung 2. Ordnung wegen $u_{xx}$ . Auch eine gemischte Ableitung wie $u_{xt}$ zählt als 2. Ordnung.
Was bedeutet es, wenn eine Differentialgleichung linear oder nichtlinear ist?

Eine Differentialgleichung ist linear, wenn die unbekannte Funktion und alle ihre Ableitungen nur in der 1. Potenz vorkommen und nicht miteinander multipliziert werden. Erlaubt sind Koeffizienten, die von der unabhängigen Variable abhängen. Zum Beispiel ist linear, aber ist nichtlinear.
Wie komme ich aus einem physikalischen Modell wie Feder Masse Dämpfer oder einem Stromkreis auf die passende Differentialgleichung?

Aus einem physikalischen Modell leitest du eine Differentialgleichung ab, indem du eine Zustandsgröße wählst und Grundgesetze als Bilanz aufschreibst. Beim Feder-Masse-Dämpfer gilt Kraftbilanz: (Trägheit = Summe der Kräfte). Im Stromkreis nutzt du Kirchhoff und Bauteilgesetze, zum Beispiel $i = C\,u'(t)$ und , und setzt sie zu einer Gleichung zusammen.

Differentialgleichung 1. Ordnung Beispiel: Schaltvorgang

$i+RC\frac{di}{dt}=0$

Ein weiteres Beispiel für eine gewöhnliche DGL stellt der Schaltvorgang dar. Hier kannst du feststellen, dass die erste Ableitung die Höchste ist.

Schauen wir uns noch kurz die Variablen an: i ist der Strom, R der Widerstand und C die Kapazität des Kondensators. Hier liegt also eine DGL erster Ordnung vor.

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