Was ist gleichmäßige Konvergenz bei einer Funktionenfolge in einfachen Worten?

Gleichmäßige Konvergenz bedeutet, dass auf einem Intervall überall gleichzeitig gegen konvergiert. Konkret gibt es eine Nullfolge mit für alle . Daher hängt die „Fehlerschranke“ nur von ab und nicht von .

Woran erkenne ich den Unterschied zwischen punktweiser Konvergenz und gleichmäßiger Konvergenz?

Punktweise Konvergenz heißt: Für jedes feste wird irgendwann nah an , aber das „irgendwann“ darf von abhängen. Gleichmäßige Konvergenz erkennst du daran, dass dieselbe Schranke für alle gilt, zum Beispiel .

Wie zeige ich gleichmäßige Konvergenz mit einer Nullfolge die nicht mehr von x abhängt?

Gleichmäßige Konvergenz zeigst du, indem du so nach oben abschätzt, dass rechts kein mehr steht. Nimm dafür auf einen gemeinsamen Maximalwert: Auf gilt bei die Abschätzung . Da , ist die Konvergenz gleichmäßig.

Warum ist die Funktionenfolge x hoch n auf null bis null Komma neun gleichmäßig konvergent aber auf null bis eins nicht?

Die Folge ist auf gleichmäßig konvergent, weil du für alle die Schranke bekommst und eine Nullfolge ist. Auf ist der größte Wert aber , also ist und diese Schranke wird nicht klein.

Wann darf ich bei gleichmäßiger Konvergenz den Grenzwert mit dem Integral vertauschen?

Grenzwert und Integral darfst du vertauschen, wenn auf gleichmäßig gegen konvergiert und alle auf integrierbar sind. Dann ist auch integrierbar und es gilt .

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Funktionenfolgen: Gleichmäßige Konvergenz

Du hast Probleme die gleichmäßige Konvergenz zu verstehen? Dann bist du hier genau richtig. Wir erklären dir die gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen an einfachen Beispielen.

Inhaltsübersicht

Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen: Definition

Voraussetzung für die gleichmäßige Konvergenz ist die punktweise Konvergenz. Du hast also eine Funktionenfolge f_n , die auf dem Intervall punktweise mit der Grenzfunktion f(x) konvergiert. Zusätzlich hast du eine Nullfolge a_n , so dass gilt:

$\left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\le\ a_n$ für alle $n\in\ N$ und $x\in\ I$

Dann heißt die Funktionenfolge f_n gleichmäßig konvergent auf .

Gleichmäßige Konvergenz: Aufgaben und Lösungen

Schauen wir uns nun ein Beispiel dazu an. Die Funktionenfolge x^n :

$f_n\left(x\right)=x^n,\ \ I=[0;\ 0,9]$

auf dem Intervall $\left[0;0,9\right]$ hat die Grenzfunktion:

$f\left(x\right)=0$

Nun wollen wir die gleichmäßige Konvergenz zeigen und schauen uns dazu – entsprechend der Definition von gleichmäßiger Konvergenz – die Differenz von Funktionenfolge und Grenzfunktion an:

Wir setzen für f_n die Funktionenfolge x^n ein und für die Grenzfunktion Null. Es bleibt x^n . Die Betragsstriche können wir weglassen, da alle $x\in\ I$ positiv sind. Um x^n nach oben abzuschätzen, können wir den Maximalwert 0,9 für einsetzen und erhalten die Folge ${a_n=0,9}^n$ . Das ist eine Nullfolge. Somit haben wir gezeigt, dass $f_n\left(x\right)$ auf dem Intervall $\left[0;0,9\right]$ gleichmäßig konvergent ist.

Jetzt wollen wir das Intervall für zu $\left[0;1\right]$ ändern. Um die Folge jetzt nach oben abzuschätzen, musst du wieder den maximalen Wert für x einsetzen. Das ist in diesem Fall die 1. 1^n ergibt 1 und 1 ist keine Nullfolge. Somit ist die Funktionenfolge auf dem Intervall $\left[0;1\right]$ nicht gleichmäßig konvergent.

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Funktionenfolgen: Gleichmäßige Konvergenz — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist gleichmäßige Konvergenz bei einer Funktionenfolge in einfachen Worten?

Gleichmäßige Konvergenz bedeutet, dass auf einem Intervall überall gleichzeitig gegen konvergiert. Konkret gibt es eine Nullfolge mit $|f_n(x)-f(x)|\le a_n$ für alle $x\in I$ . Daher hängt die „Fehlerschranke“ nur von ab und nicht von .
Woran erkenne ich den Unterschied zwischen punktweiser Konvergenz und gleichmäßiger Konvergenz?

Punktweise Konvergenz heißt: Für jedes feste wird irgendwann nah an , aber das „irgendwann“ darf von abhängen. Gleichmäßige Konvergenz erkennst du daran, dass dieselbe Schranke für alle $x\in I$ gilt, zum Beispiel $|f_n(x)-f(x)|\le a_n$ .
Wie zeige ich gleichmäßige Konvergenz mit einer Nullfolge die nicht mehr von x abhängt?

Gleichmäßige Konvergenz zeigst du, indem du so nach oben abschätzt, dass rechts kein mehr steht. Nimm dafür auf einen gemeinsamen Maximalwert: Auf gilt bei die Abschätzung $|x^n-0|=x^n\le 0{,}9^n$ . Da $a_n=0{,}9^n\to 0$ , ist die Konvergenz gleichmäßig.
Warum ist die Funktionenfolge x hoch n auf null bis null Komma neun gleichmäßig konvergent aber auf null bis eins nicht?

Die Folge ist auf gleichmäßig konvergent, weil du für alle die Schranke $x^n\le 0{,}9^n$ bekommst und $0{,}9^n$ eine Nullfolge ist. Auf ist der größte Wert aber , also ist $x^n\le 1^n=1$ und diese Schranke wird nicht klein.
Wann darf ich bei gleichmäßiger Konvergenz den Grenzwert mit dem Integral vertauschen?

Grenzwert und Integral darfst du vertauschen, wenn auf gleichmäßig gegen konvergiert und alle auf integrierbar sind. Dann ist auch integrierbar und es gilt $\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx$ .

Gleichmäßige Konvergenz zeigen – zweites Beispiel

Damit du das Abschätzen nach oben noch einmal siehst, hier ein weiteres Beispiel:

$f_n\left(x\right)=\frac{n\sin\funcapply(x)}{n+cos(x)}$

auf dem Intervall $\left[0,2\pi\right]$ . Die Grenzfunktion ergibt sich zu Sinus x:

$f\left(x\right)=\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{n\sin\funcapply(x)}{n+cos(x)}}=\sin\funcapply(x)$

Denn wenn du gegen Unendlich laufen lässt, ist der Kosinus im Nenner sehr klein gegenüber dem und kann vernachlässigt werden. Dann kürzt sich raus und es bleibt der Sinus stehen.

Nun bestimmst du die Differenz von Funktionenfolge und Grenzfunktion und darfst natürlich nicht vergessen den Betrag zu nehmen.

Du bringst das Ganze auf den gleichen Nenner, kannst es in einem einzigen Bruch schreiben und siehst, dass $nsin\left(x\right)-sin\funcapply\left(x\right)n$ sich genau aufhebt. Somit bleibt der Bruch $\frac{sin\left(x\right)cos\funcapply\left(x\right)}{n+cos\left(x\right)}$ übrig. Diesen wollen wir jetzt nach oben abschätzen. Ein Bruch wird maximal, wenn sein Nenner minimal ist. Das passiert im Fall Cosinus x ist gleich -1, also setzen wir Cosinus x auf -1. Der Bruch wird ebenso maximal, wenn der Zähler maximal ist. Sinus mal Cosinus ist maximal 1 und der Zähler wird daher auf 1 gesetzt. Diese nach oben abgeschätzte Folge $\frac{1}{n-1}$ definierst du als a_n . Es ist eine Nullfolge, so dass du gleichmäßige Konvergenz bewiesen hast.