Was heißt punktweise Konvergenz bei einer Funktionenfolge?

Punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge bedeutet, dass für jedes fest gewählte im Intervall der Grenzwert existiert. Konkret hältst du konstant und lässt nur gegen unendlich laufen. Die so entstehende Zuordnung heißt Grenzfunktion.

Wie bestimme ich die Grenzfunktion bei punktweiser Konvergenz Schritt für Schritt?

Die Grenzfunktion bei punktweiser Konvergenz bestimmst du, indem du für jedes feste den Grenzwert berechnest. Praktisch: Setze ein konkretes ein, zum Beispiel bei erst , dann ist . Danach machst du das als allgemeine Rechnung für beliebiges .

Wie finde ich bei der Funktionenfolge x hoch n die Grenzfunktion auf dem Intervall von null bis eins?

Die Grenzfunktion der Funktionenfolge auf ist für alle gleich und für gleich . Denn für jedes feste mit gilt , während für alle bleibt. Damit ist auf und .

Warum kann die Grenzfunktion unstetig sein obwohl alle Funktionen fn stetig sind?

Die Grenzfunktion kann trotz stetiger unstetig sein, weil punktweise Konvergenz Stetigkeit nicht „mitnimmt“. Beim Grenzübergang wird jeder Punkt getrennt betrachtet, und an einem Randpunkt kann ein anderer Grenzwert entstehen als in der Umgebung. Bei auf ist der Grenzwert für gleich , aber bei gleich .

Warum darf ich bei x hoch n den Grenzwert in n und den Grenzwert in x nicht vertauschen?

Bei darfst du und nicht vertauschen, weil die beiden Reihenfolgen verschiedene Ergebnisse liefern. Erst ergibt für , daher ist dann . Erst ergibt , daher ist dann .

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Funktionenfolgen: Punktweise Konvergenz

Die punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen bereitet dir noch Schwierigkeiten? Im Folgenden zeigen wir dir Schritt für Schritt die Vorgehensweise bei der punktweisen Konvergenz.

Inhaltsübersicht

Funktionenfolgen: Punktweise Konvergenz — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was heißt punktweise Konvergenz bei einer Funktionenfolge?

Punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge bedeutet, dass für jedes fest gewählte im Intervall der Grenzwert $\lim_{n\to\infty} f_n(x)$ existiert. Konkret hältst du konstant und lässt nur gegen unendlich laufen. Die so entstehende Zuordnung heißt Grenzfunktion.
Wie bestimme ich die Grenzfunktion bei punktweiser Konvergenz Schritt für Schritt?

Die Grenzfunktion bei punktweiser Konvergenz bestimmst du, indem du für jedes feste $x\in I$ den Grenzwert $f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)$ berechnest. Praktisch: Setze ein konkretes ein, zum Beispiel bei $f_n(x)=\frac{x}{n}$ erst , dann ist $f_n(2)=\frac{2}{n}\to 0$ . Danach machst du das als allgemeine Rechnung für beliebiges .
Wie finde ich bei der Funktionenfolge x hoch n die Grenzfunktion auf dem Intervall von null bis eins?

Die Grenzfunktion der Funktionenfolge auf ist für alle gleich und für gleich . Denn für jedes feste mit $0\le x<1$ gilt $x^n\to 0$ , während für alle bleibt. Damit ist auf und .
Warum kann die Grenzfunktion unstetig sein obwohl alle Funktionen fn stetig sind?

Die Grenzfunktion kann trotz stetiger unstetig sein, weil punktweise Konvergenz Stetigkeit nicht „mitnimmt“. Beim Grenzübergang wird jeder Punkt getrennt betrachtet, und an einem Randpunkt kann ein anderer Grenzwert entstehen als in der Umgebung. Bei auf ist der Grenzwert für gleich , aber bei gleich .
Warum darf ich bei x hoch n den Grenzwert in n und den Grenzwert in x nicht vertauschen?

Bei darfst du $\lim_{n\to\infty}$ und $\lim_{x\to 1}$ nicht vertauschen, weil die beiden Reihenfolgen verschiedene Ergebnisse liefern. Erst $n\to\infty$ ergibt für , daher ist dann $\lim_{x\to 1} f(x)=0$ . Erst $x\to 1$ ergibt , daher ist dann $\lim_{n\to\infty} f_n(1)=1$ .

Konvergenz von Funktionenfolgen: Definition Funktionenfolge und punktweise konvergent

Wenn die Glieder f_n einer Folge von einem Parameter abhängen, spricht man von einer Funktionenfolge. $f_n(x)=\frac{x}{n}$ ist beispielsweise eine Funktion von und gleichzeitig eine Folge. Die einzelnen Folgenglieder erhält man, indem man für eine beliebige natürliche Zahl einsetzt, zum Beispiel $f_2\left(x\right)=\frac{x}{2}$ oder $f_3\left(x\right)=\frac{x}{3}$ .