Was ist der Unterschied zwischen absoluter Konvergenz und bedingter Konvergenz bei Funktionenreihen?

Absolute Konvergenz einer Funktionenreihe bedeutet, dass für jedes feste die Zahlenreihe konvergiert. Bedingte Konvergenz heißt, dass zwar konvergiert, aber für mindestens ein divergiert.

Wie finde ich den Konvergenzradius bei einer Potenzreihe?

Den Konvergenzradius der Potenzreihe findest du mit . Existiert der Grenzwert , dann ist er gleich . Beispiel: ergibt .

Was ist der Unterschied zwischen gleichmäßiger Konvergenz und gleichmäßiger Konvergenz auf kompakten Teilmengen?

Gleichmäßige Konvergenz heißt, dass auf dem ganzen Gebiet gilt. Gleichmäßige Konvergenz auf kompakten Teilmengen bedeutet, dass diese Supremums-Bedingung für jedes kompakte gilt, aber nahe am Rand von trotzdem scheitern darf.

Wie kann ich bei einer Funktionenreihe zeigen, dass die Grenzfunktion nicht stetig ist?

Du zeigst, dass die Grenzfunktion nicht stetig ist, indem du eine Stelle findest, an der der Funktionswert-Limes nicht zum Grenzwert entlang einer Folge passt. Praktisch: Konstruiere eine Reihe mit Partialsummen auf , dann ist für und . Weil aber , ist nicht stetig.

Wann darf ich bei einer Funktionenreihe Grenzwert und Summenzeichen vertauschen?

Grenzwert und Summenzeichen darfst du vertauschen, wenn die Funktionenreihe in einer Umgebung des Grenzübergangs gleichmäßig konvergiert und die einzelnen Grenzübergänge existieren. Dann gilt . Beispiel: konvergiert gleichmäßig auf , daher darfst du bei den Grenzwert gliedweise bilden.

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Funktionenreihen

Name: Funktionenreihen
Uploaded: 2026-02-19T08:00:21Z
Duration: 4 min 18 s
Description: Du hast noch Probleme mit der Aufstellung von Funktionenreihen? Wenn du dich bereits mit Funktionenfolgen auskennst, ist es garnicht mehr so schwer auch diese Thematik zu verstehen.

Du hast noch Probleme mit der Aufstellung von Funktionenreihen? Wenn du dich bereits mit Funktionenfolgen auskennst, ist es garnicht mehr so schwer auch diese Thematik zu verstehen.

Inhaltsübersicht

Allgemeine Definition

Du kennst Funktionen f(x) und Reihen. Um eine Funktionenreihe zu erhalten, musst du nur noch die Reihenglieder durch einzelne Funktionen ersetzen. Schauen wir uns erst einmal an, wie eine Funktionenreihe definiert ist:

$f_m\left(x\right):=\sum_{n=0}^{m}g_n(x), x ∈ I$

Funktionenreihen, Funktionenfolgen — Die Glieder werden durch Funktionen ersetzt

Partialsummen aus der Funktionenfolge

Funktionenfolgen kennst du ja schon. g_n ist eine Funktionenfolge auf dem Intervall . Dann definierst du die zugehörige Funktionenreihe als Folge der Partialsummen. Das erste Folgenglied der Funktionenreihe ist also g_1(x) , das zweite ist die Partialsumme $g_1\left(x\right)+g_2(x)$ und so weiter.

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Bestimmung der Grenzfunktion

Ist die Funktionenfolge punktweise konvergent, kannst du die Grenzfunktion bestimmen, indem du die Summe bis unendlich laufen lässt. Diese Definition erinnert dich bestimmt stark an die punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen. Das ist kein Zufall, denn die Funktionenreihe ist ein Spezialfall der Funktionenfolge. Daher lassen sich die Begriffe der punktweisen und gleichmäßigen Konvergenz sowie alle Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Funktionenfolgen unmittelbar auf Funktionenreihen übertragen. Aber Achtung: Wie es auch bei einfachen Reihen geläufig ist, bezeichnet „Funktionenreihe“ oft die Grenzfunktion. Das ist nicht korrekt, aber üblich.

Funktionenreihen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist der Unterschied zwischen absoluter Konvergenz und bedingter Konvergenz bei Funktionenreihen?

Absolute Konvergenz einer Funktionenreihe bedeutet, dass für jedes feste die Zahlenreihe $\sum_{n=0}^\infty |g_n(x)|$ konvergiert. Bedingte Konvergenz heißt, dass $\sum_{n=0}^\infty g_n(x)$ zwar konvergiert, aber $\sum_{n=0}^\infty |g_n(x)|$ für mindestens ein divergiert.
Wie finde ich den Konvergenzradius bei einer Potenzreihe?

Den Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ findest du mit $R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$ . Existiert der Grenzwert $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$ , dann ist er gleich . Beispiel: $a_n=\frac{1}{2^n}$ ergibt .
Was ist der Unterschied zwischen gleichmäßiger Konvergenz und gleichmäßiger Konvergenz auf kompakten Teilmengen?

Gleichmäßige Konvergenz heißt, dass $\sup_{x\in I}|s_m(x)-f(x)|\to 0$ auf dem ganzen Gebiet gilt. Gleichmäßige Konvergenz auf kompakten Teilmengen bedeutet, dass diese Supremums-Bedingung für jedes kompakte $K\subset I$ gilt, aber nahe am Rand von trotzdem scheitern darf.
Wie kann ich bei einer Funktionenreihe zeigen, dass die Grenzfunktion nicht stetig ist?

Du zeigst, dass die Grenzfunktion nicht stetig ist, indem du eine Stelle findest, an der der Funktionswert-Limes nicht zum Grenzwert entlang einer Folge passt. Praktisch: Konstruiere eine Reihe mit Partialsummen auf , dann ist für und . Weil $x_m=0{,}9\to 1$ aber $f(x_m)=0\not\to 1$ , ist nicht stetig.
Wann darf ich bei einer Funktionenreihe Grenzwert und Summenzeichen vertauschen?

Grenzwert und Summenzeichen darfst du vertauschen, wenn die Funktionenreihe in einer Umgebung des Grenzübergangs gleichmäßig konvergiert und die einzelnen Grenzübergänge $\lim_{x\to x_0}g_n(x)$ existieren. Dann gilt $\lim_{x\to x_0}\sum_{n=0}^\infty g_n(x)=\sum_{n=0}^\infty\lim_{x\to x_0}g_n(x)$ . Beispiel: $\sum_{n=0}^\infty x^n$ konvergiert gleichmäßig auf , daher darfst du bei $x\to 0{,}5$ den Grenzwert gliedweise bilden.

Eigenschaften von Funktionenreihen

Als Nächstes zeigen wir dir noch ein paar zusätzliche Eigenschaften von Funktionenreihen: Zunächst zur Konvergenz.

Gleichmäßige Konvergenz:

$\left|g_n\left(x\right)\right|\le a_n$

Wenn du eine Zahlenfolge a_n findest, mit der du die Funktionenfolge g_n nach oben abschätzen kannst; das heißt eine Folge a_n , so dass die dargestellte Ungleichung stets erfüllt ist und außerdem die Reihe zur Folge a_n konvergiert,

$\sum_{n=0}^{\infty}a_n<\infty$

gilt folgendes: die Funktionenreihe, $\sum_{n=0}^{\infty}{g_n\left(x\right)}$ konvergiert gleichmäßig.

Stetigkeit:

$\sum_{n=0}^{\infty}{g_n(x)}\rightarrow f(x)$

Wenn die Funktionenreihe zur Funktionenfolge g_n gleichmäßig gegen konvergiert und die Funktionen g_n stetig sind, dann ist auch stetig.

Vertauschung von Integral und Summation:

Wenn eine Funktionenreihe auf dem Intervall $I=\left[a,b\right]$ gleichmäßig konvergiert und die Funktionen g_n integrierbar sind, dann ist auch die Grenzfunktion f(x) integrierbar und das Integral und die Summe können vertauscht werden.

Vertauschung von Ableitung und Summation:

Wenn eine Funktionenreihe konvergiert und die Reihe der Ableitungen gleichmäßig konvergiert, dann ist die Grenzfunktion differenzierbar und die Differentiation und die Summe können vertauscht werden.