Was ist eine Taylorreihe und warum ist es oft leichter, damit zu rechnen als mit der ursprünglichen Funktion?

Eine Taylorreihe hilft dir, eine Funktion in der Nähe von durch ein Polynom in zu ersetzen. Deshalb kannst du oft leichter auswerten, ableiten oder integrieren. In der Praxis rechnest du meist mit einem Taylorpolynom mit endlich vielen Termen.

Welche Voraussetzung muss eine Funktion am Entwicklungspunkt x(0) erfüllen, damit ich überhaupt eine Taylorreihe aufstellen kann?

Eine Taylorreihe kannst du am Entwicklungspunkt nur aufstellen, wenn dort beliebig oft differenzierbar ist. Das heißt: , , und so weiter müssen existieren.

Wie berechne ich die Koeffizienten einer Taylorreihe aus den Ableitungen der Funktion am Punkt x(0)?

Die Koeffizienten der Taylorreihe berechnest du mit . Danach setzt du die Werte in ein. Zum Beispiel hat bei die Werte und .

Was bedeutet die Ordnung m beim Taylorpolynom genau, und welche höchste Potenz kommt dann im Polynom vor?

Die Ordnung beim Taylorpolynom sagt dir, wie viele Terme du mitnimmst. Du verwendest . Deshalb ist der Grad , und die höchste Potenz ist .

Wie erkenne ich, ob meine Taylor-Approximation besser wird, wenn ich den Entwicklungspunkt x(0) anders wähle oder die Ordnung m erhöhe?

Ob eine Taylor-Approximation besser wird, erkennst du daran, wie nahe du am Entwicklungspunkt bleibst und wie viele Terme du nimmst. Sie wird meist genauer, wenn näher bei liegt und wenn du erhöhst. Prüfe das, indem du und an ein paar -Werten vergleichst.

Video

Quiz

Taylorreihen

Name: Taylorreihen
Uploaded: 2026-02-23T13:10:22Z
Duration: 1 min 53 s
Description: Du fragst dich, was Taylorreihen sind? Im folgenden Beitrag erklären wir dir Schritt für Schritt, was es mit den Taylorreihen auf sich hat und zeigen dir einige Beispiele dazu.

Du fragst dich, was Taylorreihen sind? Im folgenden Beitrag erklären wir dir Schritt für Schritt, was es mit den Taylorreihen auf sich hat und zeigen dir einige Beispiele dazu.

Inhaltsübersicht

Taylorentwicklung – Taylorreihe Herleitung und Taylor Formel

Eine Taylorreihe ist eine spezielle Potenzreihe. Du kannst jede beliebige Funktion in Form einer Taylorreihe, also als Taylorpolynom, darstellen. Das kann oft sehr praktisch sein, da das Rechnen mit Polynomen viel einfacher ist als mit komplizierten Funktionen.

Taylorreihe entwickeln – Taylorpolynom entwickeln

Kommen wir nun aber dazu, wie du eine Taylorreihe entwickeln kannst. Die Funktion f(x) , die du darstellen möchtest, muss beliebig oft im Entwicklungspunkt x_0 differenzierbar sein.

$f^\prime\left(x_0\right),\ f^{\prime\prime}\left(x_0\right),\ f^{\prime\prime\prime}\left(x_0\right),\ f^{(4)}\left(x_0\right)\ ,\ \ldots$

Gehen wir jetzt wieder von einer Potenzreihe aus, die du bereits kennst. Die Koeffizienten a_n sind die n-te Ableitung ausgewertet am Entwicklungspunkt $\frac{x_0}{n!}$ . Die Koeffizienten multipliziert mit $\left(x-x_0\right)^n$ werden summiert und ergeben die Taylorreihe.

Wenn du nun endlich viele Summanden berücksichtigen willst, kannst du das Taylorpolynom aufstellen.

$T_mf\left(x\right):=\sum_{n=0}^{m-1} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

Beachte, dass $T_mf\left(x\right)$ ein Polynom m-1-ter Ordnung ist. Also ist die größte vorkommende Potenz m-1 . $T_2f\left(x\right)$ ist zum Beispiel die Tangente an den Graphen von im Entwicklungspunkt x_0 . $T_3f\left(x\right)$ ist eine Parabel mit einem quadratischen Term als höchster Potenz.

$T_mf\left(x\right)$ ist eine gute Approximation für eine beliebige Funktion f(x) , sofern $x\approx\ x_0$ . Als Faustregel kannst du dir merken, dass die Taylor Approximation umso besser ist, je näher bei x_0 liegt und je größer die Ordnung ist.

Jetzt sollte dir klar sein, was Taylorreihen sind und dass sie sich eignen, um beliebige Funktionen zu approximieren.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Taylorreihen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist eine Taylorreihe und warum ist es oft leichter, damit zu rechnen als mit der ursprünglichen Funktion?

Eine Taylorreihe hilft dir, eine Funktion in der Nähe von durch ein Polynom in zu ersetzen. Deshalb kannst du oft leichter auswerten, ableiten oder integrieren. In der Praxis rechnest du meist mit einem Taylorpolynom mit endlich vielen Termen.
Welche Voraussetzung muss eine Funktion am Entwicklungspunkt x(0) erfüllen, damit ich überhaupt eine Taylorreihe aufstellen kann?

Eine Taylorreihe kannst du am Entwicklungspunkt nur aufstellen, wenn dort beliebig oft differenzierbar ist. Das heißt: , , $f^{(3)}(x_0)$ und so weiter müssen existieren.
Wie berechne ich die Koeffizienten einer Taylorreihe aus den Ableitungen der Funktion am Punkt x(0)?

Die Koeffizienten der Taylorreihe berechnest du mit $a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$ . Danach setzt du die Werte in $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ ein. Zum Beispiel hat $f(x)=\sin(x)$ bei die Werte und $a_3=-\frac{1}{3!}$ .
Was bedeutet die Ordnung m beim Taylorpolynom genau, und welche höchste Potenz kommt dann im Polynom vor?

Die Ordnung beim Taylorpolynom sagt dir, wie viele Terme du mitnimmst. Du verwendest $T_m f(x)=\sum_{n=0}^{m-1}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ . Deshalb ist der Grad , und die höchste Potenz ist $(x-x_0)^{m-1}$ .
Wie erkenne ich, ob meine Taylor-Approximation besser wird, wenn ich den Entwicklungspunkt x(0) anders wähle oder die Ordnung m erhöhe?

Ob eine Taylor-Approximation besser wird, erkennst du daran, wie nahe du am Entwicklungspunkt bleibst und wie viele Terme du nimmst. Sie wird meist genauer, wenn näher bei liegt und wenn du erhöhst. Prüfe das, indem du und an ein paar -Werten vergleichst.