Fermi Energie
Mit der Fermi Energie kannst du die höchste Energie eines Teilchens in einem System von Fermionen bei einer Temperatur von null Kelvin (
) berechnen. In diesem Artikel erklären wir dir, was die Fermi Energie genau beschreibt und wie du sie berechnen und herleiten kannst. Darüber hinaus erfährst du, wie du mit ihr Materialien, insbesondere Metalle, Halbleiter und Isolatoren, charakterisieren kannst und was bei Temperaturen höher als 0 Kelvin passiert. Am Ende des Artikels werden wir uns auch ein konkretes Beispiel ansehen, indem wir die Fermi Energie explizit für Kupfer berechnen.
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Inhaltsübersicht
Fermi Energie einfach erklärt
Die Fermi Energie gibt die Energie des höchsten besetzten Energieniveaus im Grundzustand eines Systems aus Fermionen an.
Betrachtest du den absoluten Nullpunkt (0 Kelvin), dann sind alle Energieniveaus bis zur Fermi Energie voll besetzt und die höheren Energieniveaus sind unbesetzt. Dabei ist ein System im Grundzustand, wenn es sich im Zustand geringstmöglicher Energie befindet.
Fermi Energie Formel
Die Fermi Energie lässt sich für ein Gas aus nicht-wechselwirkenden Fermionen berechnen mit der Formel
Dabei repräsentiert 
das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum, 
die Masse des Fermions und 
den Fermi-Wellenvektor
Die Teilchendichte 
ist hierbei der Quotient aus der Teilchenzahl 
und dem Volumen 
. Unter Verwendung der Fermi Energie kann man auch die Fermi-Geschwindigkeit einfach berechnen mit
Die Fermi-Geschwindigkeit 
ist dabei die Geschwindigkeit eines Fermions, bei welchem die kinetische Energie 
gleich der Fermi Energie 
entspricht
Mit dem Fermi-Wellenvektor lässt sich auch die sogenannte Fermi-Wellenlänge 
ausdrücken
Fermionen, wie zum Beispiel Elektronen, breiten sich sowohl als Welle wie auch als Teilchen aus. Die Fermi-Wellenlänge ist dabei die Wellenlänge der Elektronen, welche sie bei der Fermi-Energie besitzen. Außerdem lässt sich aus der Fermi-Energie auch die sogenannte Fermi-Temperatur 
berechnen
wobei 
die Boltzmann-Konstante bezeichnet.
Fermi Energie Herleitung
In diesem Abschnitt werden wir die Formel für die Fermi Energie herleiten. Dabei gehen wir von einem quadratischen Potentialkasten mit dem Volumen 
aus. Zusätzlich werden die Fermionen als nicht-wechelwirkende Teilchen genähert und das System befinde sich im Grundzustand bei einer Temperatur von 0 Kelvin. Da man von einem unendlichen, periodischen Potential ausgeht, gilt für die Wellenfunktion 
Durch lösen der stationäre Schrödingergleichung mit der Bloch-Funktion erhält man dann als Bedingung für den Wellenzahlvektor
(1) 
mit 
.
Aus der Teilchenphysik ist außerdem die folgende Beziehung zwischen der Frequenz und der Energie bekannt
Zusätzlich weiß man auch, dass die Wellenzahl 
proportional zum Impuls 
ist
Verwendet man diese Beziehungen, so erhält man für die kinetische Energie folgende Formel
Setzt man in diese Formel für den Wellenvektor den Fermi-Wellenvektor ein, dann resultiert daraus die Fermi Energie
(2) 
Alle Energieniveaus sind im Grundzustand dann bis zu dieser Fermi-Energie mit jeweils zwei Spins besetzt. Diese besetzten Zustände befinden sich dabei in der Fermi-Kugel mit dem Volumen
Das Volumen , welches genau einen Zustand enthält, hat dabei im reziproken Raum ein Volumen von
Teilt man nun das Volumen der Fermi-Kugel durch das Volumen 
, dann erhält man daraus die Anzahl der Elektronen im Potentialkasten
Der Faktor 2 kommt daher, da jeder Zustand zwei Elektronen aufnehmen kann. Hiermit lässt sich nun einfach die Elektronendichte bestimmen
Formt man diese Gleichung nach um
und setzt dies in die Formel (2) ein, dann kann man die Fermi Energie auch mit der Teilchendichte ausdrücken
Fermi Energie Halbleiter, Isolator, Metall
Mit der Fermi Energie kann man nun erklären, weshalb manche Materialien leitend sind und manche nicht. Befindet sich die Fermi Energie in der Bandlücke zwischen dem vollbesetzten Valenzband und dem leeren Leitungsband so können durch, zum Beispiel (genügend starke) thermische Anregung, Elektronen in das Leitungsband gelangen. Damit wird das Material leitend und man spricht in diesem Fall von einem Halbleiter. Ist die Bandlücke jedoch zu groß, sodass die Elektronen diese durch Anregung nicht überbrücken können, dann ist das Material nicht leitend und man spricht von einem Isolator. Bei einem Metall handelt es sich um ein leitendes Material, da sich die Fermi Energie im Leitungsband befindet und somit das Leitungsband teilweise besetzt ist. Und teilweise besetzte Bänder sind gerade die Voraussetzung, dass ein Material leitend ist.
Fermi Kante bei höheren Temperaturen
Die Zustände sind bei einer Temperatur von 0 Kelvin gerade bis zum Fermi Niveau besetzt. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von einer Fermi-Kante, da die Fermi-Verteilung 
für 
eine Kante aufweist. Die Fermi-Verteilung gibt dabei die Wahrscheinlichkeit an mit welcher ein Zustand mit der Energie 
bei einer bestimmten Temperatur 
besetzt ist
Hierbei ist 
das chemische Potential und für gilt 
. Bis zur Energie der Fermi-Kante sind also alle Zustände besetzt und die Zustände höherer Energie sind alle unbesetzt. Wird die Temperatur ausgehend von 0 Kelvin erhöht, so weicht die Fermi-Kante immer mehr auf und es werden auch Zustände über dem Fermi Niveau besetzt. Dies ist in der folgenden Abbildung gut zu erkennen.
Dabei muss jedoch gelten, dass die thermische Energie 
viel kleiner ist als die Fermi Energie
Fermi Energie berechnen Beispiel
Mit der oben genannten Formel lässt sich nun einfach die Fermi Energie verschiedener Elemente berechnen, wie zum Beispiel die Fermi Energie Natrium oder die Fermi Energie Kupfer. Hier wollen wir als Beispiel die Fermi Energie Kupfer berechnen. Die freien Elektronen in Kupfer haben bei eine Dichte von 
, die Masse von Elektronen ist gegeben durch 
und das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum mit 
. Damit erhält man die Fermi Energie Kupfer
