Doppelspalt
Was ist der Doppelspalt und welche Interferenzmuster treten bei ihm auf? Alles Wichtige dazu zeigen wir dir hier und im Video !
Inhaltsübersicht
Was ist der Doppelspalt?
Der Doppelspalt ist ein Versuchsaufbau, bei dem Licht oder Teilchen durch zwei schmale Spalte geschossen werden. Das Besondere hierbei ist, dass auf dem Schirm dahinter nicht nur zwei Streifen, sondern ein ganzes Streifenmuster aus hellen und dunklen Streifen abgebildet wird. Dieses Muster nennst du Interferenzmuster.
Verantwortlich für das Muster ist die Überlagerung der Wellen, die durch beide Spalte entstehen. Dieses Phänomen tritt aber ausschließlich bei Wellen auf. Dadurch kann mit dem Doppelspalt gezeigt werden, dass Teilchen auch Wellen-Eigenschaften haben.
Das Huygenssche Prinzip sagt aus, dass jeder Punkt einer Wellenfront als Erreger einer neuen Welle angesehen werden kann. An den Spalten entsteht also eine neue Welle. Deshalb kommt das Licht bzw. die Teilchen auch in die Schattenräume links und rechts hinter dem Spalt. Diese Fähigkeit von Wellen heißt Beugung.
Interferenz am Doppelspalt
Wenn beispielsweise Licht-Wellen auf den Schirm geschossen werden, bildet sich ein Streifenmuster. Hierbei liegt der hellste Streifen in der Mitte. Nach außen hin wechseln sich immer ein dunkler Streifen und ein heller Streifen ab. Je weiter außen die hellen Streifen liegen, desto schwächer werden sie. Diese Erscheinung wird durch Interferenz am Doppelspalt verursacht.
Bei den hellen Streifen tritt konstruktive Interferenz auf. Eine Welle muss immer dann ein Maximum bzw. Minimum erreichen, wenn die überlagernde Welle es ebenfalls tut. Somit addieren sich die Wellen und es kommt als Ergebnis eine stärkere Welle heraus. Auf die Weise ergeben sich die hellen Stellen. Die Lichtintensität ist hier besonders hoch.
Bei dunklen Stellen kommt es zur destruktiven Interferenz. Wenn die eine Welle ein Maximum hat, besitzt die überlagernde Welle ein Minimum. Hierbei löschen sich die Wellen gegenseitig aus. In diesem Fall ist die Lichtintensität sehr niedrig.
Doppelspalt Formel
Mit einem Blick auf den Versuchsaufbau kannst du die Doppelspalt-Formeln für Minima, Maxima und Intensität des Lichts an den verschiedenen Stellen anwenden.
Die Buchstaben stehen für verschiedene Abstände und Winkel innerhalb des Versuchs:
- d: Abstand zwischen den Spalten
- △s: Gangunterschied zwischen den Wellen auf dem Weg zum Punkt (S1) des Schirmes
- D: Abstand von der Blende (B) zum Schirm (S)
- Θ: Hilfswinkel zur Bestimmung des Gangunterschiedes
- ρ: Winkel zwischen dem stärksten Maximum zu einem beliebigen Punkt
Da der Abstand D von der Blende zum Schirm viel größer als der Spaltabstand d (D >> d) ist, sind die beiden Winkel ungefähr gleich groß (Θ ≈ ρ).
Minima
Für Minima gilt folgende Doppelspalt Formel:
![\[d \cdot \sin \left( {{\rho}} \right) = \left( {2 \cdot k - 1} \right) \cdot \frac{\lambda }{2} = \left( {k - \frac{1}{2}} \right) \cdot \lambda \;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-db37cb6875e579682d9b4adaf9ba08d7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Hierbei steht λ für die Licht- oder Teilchen-Wellenlänge . Dahingegen stellt k die Reihenfolge der Minima dar. Wenn du vom ersten Minima sprichst, ist k = 1. Manchmal heißt es dann auch Minima 1. Ordnung.
![\[d \cdot \sin \left( {{\rho}} \right) = k \cdot \lambda \;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47f880cfab26ca7b68f7bea088a9cd00_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[{\rho} = 0^\circ \; \right \text{(Hauptmaximum)}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d364e2fa3f4bcf86d2b03b9af2af2e1e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Intensität
Wenn du die Intensität bei einer gewissen Stelle des Schirms ermitteln möchtest, wendest du folgende Doppelspalt Formel an:
![\[I(\rho) = {I_0} \cdot {\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{{2 \cdot \pi \cdot d \cdot \sin (\rho)}}{\lambda }} \right)}}{{\sin \left( {\frac{{\pi \cdot d \cdot \sin (\rho )}}{\lambda }} \right)}}} \right]^2}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c15d7c5b18cc41bec174e6ec116f8718_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
I0 steht dabei für die Intensität des Maximums 0. Ordnung. Diese Formel wird allerdings noch umgewandelt. Dafür verwendest du folgende Näherung:
![\[ \sin \left( {2x} \right) \sim \sin \left( x \right) \cdot \cos \left( x \right) \Rightarrow { \frac{{\sin \left( {2x} \right)}}{{\sin \left( x \right)}} } \approx \frac{ \sin(x) \cdot \cos(x)}{\sin(x)} \sim \cos \left( x \right) \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5ebe6d7ac01f354edf83c69194b56537_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Da alles in den Klammern quadriert wird, kommt nicht der cos(x), sondern der cos2(x) heraus:
![\[I(\rho) = {I_0} \cdot {\cos ^2}\left( {\frac{{\pi \cdot d \cdot \sin (\rho)}}{\lambda }} \right)\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-649f3376e9d921b213e26ea53fd3c2b9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Diese Formel gilt näherungsweise. Wenn du die Intensität ohne Näherung berechnen willst, musst du die Breite b der einzelnen Spalte im Doppelspalt berücksichtigen. Dann ergibt sich eine Abwandlung der Doppelspalt Formel:
![\[I(\rho) = {I_0} \cdot \underbrace {{{\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{{2 \cdot \pi \cdot d \cdot \sin (\rho)}}{\lambda }} \right)}}{{\sin \left( {\frac{{\pi \cdot d \cdot \sin (\rho)}}{\lambda }} \right)}}} \right]}^2}}_{{\rm{Doppelspalt}}} \cdot \underbrace {{{\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{{\pi \cdot b \cdot \sin (\rho)}}{\lambda }} \right)}}{{\frac{{\pi \cdot b \cdot \sin (\rho)}}{\lambda }}}} \right]}^2}}_{{\rm{Einzelspalt}}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a1813e2b17f85e1e9efc9899b97a4fb0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Mit der Näherung kommt dann erneut die Darstellung mit dem cos2(x) heraus:
![\[I(\rho) = {I_0} \cdot \underbrace {{{\cos }^2}\left( {\frac{{\pi \cdot d \cdot \sin (\rho)}}{\lambda }} \right)}_{{\rm{Doppelspalt}}} \cdot \underbrace {{{\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{{\pi \cdot b \cdot \sin (\rho )}}{\lambda }} \right)}}{{\frac{{\pi \cdot b \cdot \sin (\rho)}}{\lambda }}}} \right]}^2}}_{{\rm{Einzelspalt}}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6bb527b2e89c286fbe915a717ebdc507_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wellenlänge mit Doppelspalt berechnen
Wenn du den Abstand x zwischen dem Maximum 0. Ordnung und dem k-ten Maximum nachmisst, kannst du damit die Wellenlänge des Teilchens oder des Lichts berechnen:
![\[\lambda = \frac{{d \cdot {x}}}{{k \cdot D}}\;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e2774e58fdbad91a4cb4415622418d4b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Doppelspaltexperiment
Jetzt weißt du, was beim Doppelspalt passiert und welche Formeln du bei ihm anwenden kannst. Wo die Formeln allerdings herkommen und wie das Doppelspaltexperiment im Detail durchgeführt wird, erfährst du in diesem Video dazu!
